Bài giảng lớp 10 môn Đại số - Chương III: Phương trình và hệ phương trình

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) · x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng. · Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. · Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức thì cần điều kiện P(x) ¹ 0. – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức thì cần điều kiện P(x) ³ 0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2. · (1) Û (2) khi và chỉ khi S1 = S2. · (1) Þ (2) khi và chỉ khi S1 Ì S2. 3. Phép biến đổi tương đương · Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. · Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) b) c) d) Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) b) c) d) e) f) Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) b) c) d) Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) b) c) d) Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) b) c) d) a) II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0 ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a ¹ 0 (1) có nghiệm duy nhất a = 0 b ¹ 0 (1) vô nghiệm b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x Chú ý: Khi a ¹ 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) b) b) d) e) f) Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: a) b) c) d) Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x Î R. a) b) c) d) a) III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 1. Cách giải ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1) Kết luận D > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt D = 0 (1) có nghiệm kép D < 0 (1) vô nghiệm Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = . – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = . – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với . 2. Định lí Vi–et Hai số là các nghiệm của phương trình bậc hai khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức và . VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình Để giải và biện luận phương trình ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a: – Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình . – Nếu a ¹ 0 thì mới xét các trường hợp của D như trên. Giải và biện luận các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại: a) b) c) d) a) VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình (1) · (1) có hai nghiệm trái dấu Û P < 0 · (1) có hai nghiệm cùng dấu Û · (1) có hai nghiệm dương Û · (1) có hai nghiệm âm Û Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì D > 0. Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) b) c) d) e) f) g) h) a) VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et 1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số Ta sử dụng công thức để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm x1, x2 theo S và P. Ví dụ: 2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm: (S, P có chứa tham số m). Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2. 3. Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng: , trong đó S = u + v, P = uv. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: A = ; B = ; C = ; D = ; E = a) b) c) d) e) f) Cho phương trình: (*). Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2. Cho phương trình: (*). a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức A = . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là . HD: a) b) c) A = d) e) Cho phương trình: (*). a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: . HD: a) m = 3; m = 4 b) c) m = –1; m = 2. Cho phương trình: . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) . (nâng cao) Cho phương trình: (a là tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi a. b) Tìm a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN. Cho phương trình: a) IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Định nghĩa và tính chất · · · · · · · · 2. Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. · Dạng 1: · Dạng 2: · Dạng 3: Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Giải và biện luận các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) b) a) V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. Dạng 1: Û Dạng 2: Dạng 3: Û Dạng 4: · Đặt với u, v ³ 0. · Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. Dạng 5: Đặt . Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) h) Giải các phương trình sau: a) b) c) Giải các phương trình sau: a) VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình (mẫu thức khác 0). Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Giải và biện luận các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Giải và biện luận các phương trình sau: a) VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0) 1. Cách giải: 2. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng. · (1) vô nghiệm Û · (1) có 1 nghiệm Û · (1) có 2 nghiệm Û · (1) có 3 nghiệm Û · (1) có 4 nghiệm Û 3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn · Dạng 1: – Đặt – PT trở thành: · Dạng 2: – Đặt Þ – PT trở thành: · Dạng 3: (phương trình đối xứng) – Vì x = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho , ta được: PT Û (2) – Đặt với . – PT (2) trở thành: . Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Tìm m để phương trình: i) Vô nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm a) b) c) Giải các phương trình sau: a) b) c) d) e) f) g) Giải các phương trình sau: a)