Phương pháp giải : • Vân dụng định lí dấu tam thức bậc 2(định lí đảo dấu tam thức bậc 2 ) • Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2 B - BÀI TP Bài 1: Tìm a để bất pt :ax 4 0 + > đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện 4 x < Bài
21 trang |
Chia sẻ: quynhsim | Lượt xem: 502 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Bài giảng lớp 10 môn Đại số - Bài tập bất phương trình, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
BÀI TP BT PHuchoaNG TRÌNH
I -- BT PHuchoaNG TRÌNH A THuchoasacC
A - LÝ THUYT
Phương pháp giải :
• Vân dụng ñịnh lí dấu tam thức bậc 2(ñịnh lí ñảo dấu tam thức bậc 2 )
• Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2
B - BÀI TP
Bài 1: Tìm a ñể bất pt : ax 4 0+ > ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiện 4x <
Bài giải :
ðặt f(x) = ax +4
Ta có : ( )4;4( ) ax 4 0 ∈ −= + > ∀xf x
( 4) 0 4 4 0 1
(4) 0 4 4 0 1
− ≥ − + ≥ ≤
⇔ ⇔ ⇔ ≥ + ≥ ≥ −
f a a
f a a
Vậy giá trị cần tìm là : 1 1a− ≤ ≤
Bài 2: Cho bpt : 2 2( 4) ( 2) 1 0m x m x− + − + < (1)
1) Tìm m ñể bpt vô nghiệm
2) Tìm m ñể bpt có nghiệm x = 1
Bài giải :
1)
TH1: 2
2
4 0
2
m
m
m
= −
− = ⇔
=
• Với m = -2 : 1(1) 4 1 0 2
4
x x m⇔ − + ⇒ = − (ktm)
• Với m = 2 : (1) 1 0⇔ < vô nghiệm 2⇒ =m thỏa mãn .
TH2: 2m ≠ ±
(1) vô nghiệm 2 2( 4) ( 2) 1 0,⇔ − + − + ≥ ∀xm x m x
2
2 2
4 0 2 2
( 2)(3 10) 0( 2) 4( 4) 0
− >
⇔ ⇔
− + ≥∆ = − − − ≤
m m m
m mm m
2 2 10
310 2 23
≤ − ⇔ ⇔
− ≤ ∪ ≥ >
m m
m
m m
m
Từ 2 trường hợp trên ta thấy giá trị cần tìm là : 10 2
3
m m≤ − ∪ ≥
2) Bất phương trình (1) có một nghiệm x = 1
2 2 1 21 1 21( 4).1 ( 2).1 1 0 5 0
2 2
− − − +
⇔ − + − + < ⇔ + − < ⇔ < <m m m m m
Bài 3: ðịnh m ñể bpt : 2 22 1 0x x m− + − ≤ (1) thỏa mãn 1;2 ∈∀x
Bài giải:
Cách 1 :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
2 2(1) 2 1 (2)⇔ − ≤ −x x m
Xét f(x) = x2 – 2x trên [1;2]
(2) thỏa mãn với mọi x thuộc [1;2] khi và chỉ khi Max f(x) 2 1m≤ − (3)
Lập bảng bt của f(x) suy ra Maxf(x) = 0:
Vậy (3) 2 10 1
1
m
m
m
≤ −
≤ − ⇔ ≥
Cách 2 :
ðặt f(x) = x2 – 2x + 1 – m2,
Ta có : f(x) 0≤ [ ]1;2x∈∀
2
2
2
1. (1) 0 1 2.1 1 0 1
1 0
1. (2) 0 14 2.2 1 0
≤ − + − ≤ ≤ −
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≥
− + − ≤
f m m
mf mm
Bài 4: Với giá trị nào của a thì bất pt sau nghiệm ñúng với mọi giá trị của x :
2 2( 4 3)( 4 6) (1)x x x x a+ + + + ≥
Bài giải :
ðặt : 2 24 3 4 6 3t x x x x t= + + ⇒ + + = +
Ta có: 2( 2) 1 1 1 ( 3) (3)= + − ≥ − ⇒ ≥ − ⇔ + ≥t x t t t a
Xét hàm số : f(t) = 2 3 , ( 1)t t t+ ≥ −
(3) inf ( )M t a⇔ ≥
Lập bảng biến thiên của f(t):
Suy ra Mìn(t) = -2 Vậy (3) 2a ≤ −
Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình sau ñúng với mọi x:
2
2
23 2(1)
1
x mx
x x
+ −
− ≤ ≤
− +
Bài giải :
Ta có : 2 1 0, xx x− + > ∀
Do ñó (1)
2 2 2
2 2 2
3( 1) 2 4 ( 3) 1 0(2)
2 2( 1) ( 2) 4 0(3)
− − + ≤ + − + − + ≥
⇔ ⇔
+ − ≤ − + − + + ≥
x x x mx x m x
x mx x x x m x
(1) ñúng với mọi x
2
(2)
2
(3)
( 3) 16 0 1 7
1 2
6 2( 2) 16 0
∆ = − − ≤
− ≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
− ≤ ≤∆ = + − ≤
m m
m
mm
BÀI TP V NHÀ
Bài 1: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiên : 2 1x− ≤ ≤
2 ( 1) 2( 1) 0m x m x x+ + − − > (1)
Bài giải :
2(1) ( 2) 2 0(2)m m x m⇔ + − + + >
ðặt f(x) = (m2 + m – 2 )x + m + 2
Bài toán thỏa mãn:
2 2
2 2
3( 2) 0 ( 2)( 2) 2 0 2 6 0 2 3
02(1) 0 2( 2)(1) 2 0 2 0 2 0
− > + − − + + > − − + > − < <
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <
> + − + + > + >
f m m m m m m
mf m m m m m
m m
Bài 2: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x : 2 22 1 0x x m− + − >
Bài giải :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Do a = 1 > 0 Vậy bài toán thỏa mãn: 2 2 2' 1 1 0 2 0
2
< −
⇔ ∆ = − + < ⇔ − < ⇔
>
m
m m
m
Bài 3: Tìm a nhỏ nhất ñể bpt sau thỏa mãn [ ]0;1x∈∀ :
2 2 2( 1) ( 1)a x x x x+ − ≤ + + (1)
Bài giải :
ðăt : 2 1t x x= + + = f(x)
Lập bbt f(x) trên [0;1] Suy ra f(x) 1 3t⇒ ≤ ≤
2 2
1;3 1;3(1) ( 2) 2 0 (2) ∈ ∈⇔ − ≤ ∀ ⇔ − + ≥ ∀t ta t t t at a
ðặt f(t) = t2 – at + 2a
2 8 0
2 8 0
(2) 1. (1) 0 1 9
1
2 2
2 8 0
1. (3) 0
3
2 2
∆ = − ≤
∆ = − >
⇔ ≥ ⇔ − ≤ ≤
−
= <
∆ = − >
≥
−
= >
a a
a a
f a
b a
a
a a
f
b a
a
Suy ra a cần tìm là : a = -1
BÀI TP TUYN SINH
Bài 1:Tìm a ñể hai bpt sau tương ñương :( a-1).x – a + 3 > 0 (1) và (a+1).x – a + 2 >0 (2)
Bài giải :
TH1: a = 1± thay trực tiếp vào (1) và (2) thấy không tương ñương.
TH2: a > 1 : 1 2
3 2(1) ; (2)
1 1
− −
⇔ > = ⇔ > =
− +
a a
x x x x
a a
(1) 1 2(2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ =
TH3: a < -1 :
1
2
(1)
(2)
x x
x x
⇔ <
⇔ <
ðể 1 2(1) (2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ = ( loại)
TH4: -1 < a < 1 : (1) Và (2) không tương ñương
Kết luận :a = 5 thỏa mãn bài toán .
Bài 2: (ðHLHN): Cho f(x) = 2x2 + x -2 . Giải BPT f[f(x)] < x (1)
Bài giải :
Vì f[f(x)] – x = f[f(x)] – f(x) +f(x) – x = [2f2(x) + f(x) -2] – (2x2 + x – 2) + f(x) – x =
= 2[f2(x) – x2 ] + 2 [f(x) – x ] = 2 [f(x) – x ][f(x) + x +1] = 2(2x2 – 2)( 2x2 +2x-1)
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Vậy (1) 2 2
1 3 1
22(2 2)(2 2 1) 0
1 3 1
2
− −
< < −
⇔ − + − < ⇔
− +
< <
x
x x x
x
Bài 3: (ðHKD-2009). Tìm m ñể ñường thẳng (d) : y = -2x + m cắt ñường cong (C): y =
2 1x x
x
+ −
tại
2 ñiểm pb A ,B sao cho trung ñiểm I của ñoạn AB thuộc oy
Bài giải :
Xét pt hoành ñộ :
2 12 (1)x xx m
x
+ −
− + =
ðể (d) cắt (C) tại 2 ñiểm pb (1)⇔ có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0
2(1) 3 (1 ) 1 0 ( )x m x f x⇔ + − − = =
Do a .c = -3 <0 ,f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm phân biêt khác 0 .
ðể I thuộc oy 1 2 10 0 1
2 6
x x m
m
+ −
⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bài 4: Tìm m ñể (d) : y = -x + m cắt (C )y =
2 1x
x
−
tại 2 ñiểm pb A,B sao cho AB = 4.
Bài giải :
Xét pt hoành ñộ :
2 1x
x m
x
−
− + = (1)
ðể (d) cắt (C ) tại 2 ñiểm pb (1)⇔ có 2 nghiệm pb khác 0 22 1 ( ) 0x mx f x⇔ − − = = có 2 nghiệm pb
khác 0.
Do a.c = -2 < 0 , f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm pb x1 , x2 khác 0.
ðể AB = 4 2 2 22 1 2 116 ( ) ( ) 16AB x x y y⇔ = ⇔ − + − =
2
2 2
2 1 2 1 1 2
12( ) 16 2 ( ) 4 2( 4.( )) 16 2 6
4 2
⇔ − = ⇔ + − = − − = ⇔ = ±
m
x x x x x x m
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
II -- BT PHuchoaNG TRÌNH CHuchoasacA TR TUYT I
A - LÝ THUT
1.
2.
3. ( )( ) 0
A B B A B
A B
A B
A B
A B A B A B
< ⇔ − < <
>
> ⇔ < −
> ⇔ − + >
Các tính chất :
,
,
1.
2. . 0
3. ,
4. ( ). 0
A B
A B
A B A B
A B A B A B
A B A B
A B A B A B B
+ ≤ + ∀
+ < + ⇔ <
− ≥ − ∀
− > − ⇔ − >
B - BÀI TP
Bài 1:Giải các bpt sau :
2 2 2
2
2
1) 2 3 3 3 2) 3 2 2
5 43) 2 5 7 4 4) 1
4
− − ≤ − − + + >
− +
+ > − ≤
−
x x x x x x x
x x
x x
x
Bài giải :
2 2
2 2
2 3 3 3 6 0 3 2(1) 2 5
0 52 3 3 3 5 0
− − ≥ − + + − ≥ ≤ − ∪ ≥
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ ≤ ≤
− − ≤ − − ≤
x x x x x x x
x
xx x x x x
2 2 2
2 2
2 2
3 2 2 2 5 2 0(2) 3 2 2
2 03 2 2
1 12
2 2
2 2
− + > − − + >
⇔ − + > − ⇔ ⇔
− >
− + < −
< ⇔ ⇔
> >
x x x x x x
x x x x
xx x x x
x x x
x x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
[ ][ ]2 2 2 2(3) (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0 (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0
1(12 2 )(6 2) 0 (6 )(3 1) 0 6
3
⇔ + > − ⇔ + − − > ⇔ + + − + − − >
⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ < <
x x x x x x x x
x x x x x
(4). ðk: x 2≠ ±
2 2 2 2 2 2 2(4) 5 4 4 ( 5 4) ( 4) (8 5 )(2 5 ) 0
80
5
5
2
⇔ − + ≤ − ⇔ − + ≤ − ⇔ − − ≤
≤ ≤
⇔
≥
x x x x x x x x x
x
x
Bài 2:Giải các bpt sau :
2
2 2
2
4 3
1) 1 2) 1 2 8
5
− +
≥ − ≤ − +
+ −
x x
x x x
x x
Bài giải:
1) Bảng xét dấu :
x −∞ 0 +∞
4 5
X2 – 4x + - + +
X - 5 - - - +
+) Xét : 0
4 5
x
x
<
≤ <
2
2 2
4 3 3 2 2(1) 1 0
5 5 3
− + +
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ −
− + − +
x x x
x
x x x x
(do 2 5 0, x Rx x ∈− + > ∀ )
+) Xét : 0 4x≤ < :
2
2
2
4 3 1(1) 1 2 5 2 0 2
5 2
− + +
⇔ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
− +
x x
x x x
x x
+) Xét : 5x ≥ :
2
2 2
4 3 5 8 1 21 8 1 21(1) 1 0
5 5 2 5 2
− + − − − − +
⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ∪ ≤ ≤
+ − + −
x x x
x x
x x x x
(ktm)
Vậy nghiệm bpt là :
2
3
1 2
2
x
x
− ≤
≤ ≤
2. ðặt t = , 0x t ≥ :
2
2 2
2 2
2 2
2 2 7 02 8 1 9(2) 1 2 8 9 21 2 8
2
− + ≥− + − ≤ −
⇔ − ≤ − + ⇔ ⇔ ⇔ ≤
≤− ≤ − +
t tt t t
t t t t
tt t t
Vì 9 9 9 90 0
2 2 2 2
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤t x x
Bài 3: Giải và biện luận bpt sau : 2 23 4 (1)x x m x x m− − ≤ − +
Bài giải:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2(1) 3 4 2 7 2 0 2 7 2 0⇔ − − ≤ − + ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤x x m x x m x x x m x x x m
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Ta có : 7(2 7)( 2 ) 0 2 0
2
x x x m x m x x− − = ⇔ = ∪ = ∪ =
+) Nếu 2m < 0 : Có trục xác ñịnh dấu:
Kết luận :
2
70
2
x m
x
≤
≤ ≤
+) Nếu 2m = 0
Kết luận: 7
2
x ≤
+) Nếu 7 70 2 0
2 4
m m< < ⇔ < <
Kết luận:
0
72
2
x
m x
≤
≤ ≤
+) Nếu 2m = 7
2
7
4
m⇔ =
Kết luận:
0
7
2
x
x
≤
=
+) Nếu 7 72
2 4
m m> ⇔ >
Kết luận:
0
7 2
2
x
x m
≤
≤ ≤
B - BÀI TP V NHÀ
Bài 1: Giải các bpt sau :
2
2 2
2
1) 1 2
2) 1 4 2 1
3) 2 2 2 2
4) 3 3 9 2
− <
− ≥ +
+ − ≤ − −
− − > −
x x
x x
x x x x
x x x
Bài giải :
Kết quả :
1.) 1 2 1 2x− + < < +
2.) 0
1
x
x
≤
≥
3.) 2
0 1
x
x
= −
≤ ≤
4.)
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
2
2
2
2
2
3 9 2 3
3 3 9 2
3 3 9 2
4 19
3 8 1 0 3
3 10 5 0 4 19
3
− + − < −
⇔ − < − + ⇔
− < − +
−
⇔ ⇔
− +
x x x
x x x
x x x
x
x x
x x
x
Bài 2: Giải các bpt sau :
2
2
4
21) 1
2 3
2) 1
1
3) ( 3)( 1) 5 ( 1) 11
≤ −
−
≤
+
+ − − ≤ + −
x
x
x
x
x x x
Bài giải :
1.ðặt : 2 , 0x t t= > . Ta ñược :
2 2
2 2
2 2 02 21 2 0 1
2 2 0
− ≤ − + − ≤
−≤ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤
− ≥ − + ≤
t t t tt
t t t t t
t t t t t t
Vậy 2
1 1
0 1
0
x
x
x
− ≤ ≤
< ≤ ⇔
≠
2.ðk : 1x ≠ −
TH1 : 0≥x
2 2
2
2 3(2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 )
1
1 38 14 3 0
4 2
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ +
+
⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤
x
x x x x
x
x x x
(tm)
TH2:
0
1
x
x
<
≠ −
2 2
2
2 3(2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 )
1
3 18 10 3 0
4 2
+
⇔ ≤ ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ +
+
⇔ + + ≤ ⇔ − ≤ ≤ −
x
x x x x
x
x x x
( tm )
3. 2 4 2 4(3) 2 3 5 ( 1) 11 ( 1) 9 ( 1) 11⇔ + − − ≤ + − ⇔ + − ≤ + −x x x x x
ðặt : 2( 1) , 0t x t= + ≥ . Ta ñược :
2 2
2
2 2
9 11 2 0
9 11
11 9 20 0
1 2 5
5 4 4
− ≤ − − − ≥
− ≤ − ⇔ ⇔
− + ≤ − + − ≥
≤ − ∪ ≥ ≤ −
⇔ ⇔ ≤ − ∪ ≥ ≥
t t t t
t t
t t t t
t t t
t t t
Vậy 4t ≥ ( tm ) 2 1( 1) 4 ( 1)( 3) 0
3
≥
⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ −
x
x x x
x
Bài 3: Giải và biện luận bpt sau theo tham số m. 2 22 3x x m x x m− + ≤ − −
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Bài giải :
( ) ( )
( )
2 22 2
2
(3) 2 3
2 (2 5 ) 0
(2 5)( 2 ) 0
⇔ − + ≤ − −
⇔ + − ≤
⇔ + + ≤
x x m x x m
x m x x
x x x m
Nếu : 5 52
2 4
m m− thì
2
(3) 5 0
2
x m
x
≤ −
⇔
− ≤ ≤
Nếu : 5 52
2 4
m m− = − ⇔ = thì (3) 0x⇔ ≤
Nếu 5 52 0 0
2 4
m m− < − < ⇔ < < thì
5
(3) 2
2 0
x
m x
≤ −⇔
− ≤ ≤
Nếu 2 0 0m m− = ⇔ = thì 5(3)
2
x⇔ ≤ −
Nếu m < 0: thì
0 2
5
2
x m
x
≤ ≤ −
≤ −
Kết luận :
Bài 4: Với giá trị nào của m thì bpt sau thỏa mãn với mọi x : 2 2 2 2 0x mx x m− + − + >
Bài giải :
2 2(4) ( ) 2 2 0x m x m m⇔ − + − + − >
ðặt : , 0x m t t− = ≥
Ta ñược : t2 + 2t + 2 – m2 > 0 (5)
ðể tmbt 2 2 0( ) 2 2 tf t t t m ≥⇔ = + > − ∀
2inf( ) 2(6)M t m⇔ > −
Lập bbt của f(t) :
Suy ra Minf(t) = 0 :
Vậy 2(6) 0 2 2 2m m⇔ > − ⇔ − < <
Bài 5: Với giá trị nào thì bpt sau có nghiệm: 2 22 1 0x x m m m+ − + + − ≤
Bài giải :
2 2
2 2
2( ) 1 0( )
(5)
2( ) 1 0( )
x x m m m
I
x m
x x m m m
II
x m
+ − + + − ≤
≥⇔ − − + + − ≤
<
(5) có nghiệm khi và chỉ khi (I) có nghiệm Hoặc (II) có nghiệm:
2 2( ) 2 ( ) 1
x m
I
x x f x m m
≥
⇔
+ = ≤ − + +
Có f(m) = m2 + 2m
(I) có nghiệm 2 2 2 11 2 2 1 0 1
2
⇔ − + ≥ + ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤m m m m m m m
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
(II) 2 22 ( ) 3 1
x m
x x g x m m
<
⇔
− = ≤ − − +
(II) có nghiệm 2 2 2 12 3 1 2 1 0 1
2
⇔ − < − − + ⇔ + − < ⇔ − < <m m m m m m m
Kết luận : 11
2
m− ≤ ≤
Cách 2:
ðặt : 0t x m= − ≥ ,phải tìm m ñể
f(t) = 2 2 2 1 0t t mx m+ + + − ≤ có nghiệm 0t ≥ .Parabol y = f(t) quay bề lõm lên trên và có hoành ñộ
ñỉnh là t = -1< 0 nên phải có f(0) = 2mx + m - 1 0≤ .Khi t = 0 thì x = m suy ra
2 12 1 0 1
2
m m m+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Bài 6: Tìm a ñể với mọi x : 2( ) ( 2) 2. 3= − + − ≥f x x x a
Bài giải :
Bài toán thỏa mãn :
2
2
2 1 2 ( ) 0 (2)
6 1 2 ( ) 0 (3)
x a
x a
x x a f x
x x a g x
≥
<
− + − = ≥ ∀
⇔
− + + = ≥ ∀
2
' 0
0
0' 0(2)
1. ( ) 0 4 1 0 2 3
11
2
a
a o a
f a a a a
b a
a
∆ ≤
≤
> ≤ ∆ > ⇔ ⇔ ⇔ ≥ − + ≥ ≥ + < − <
(3) 2
' 0
8 2 0
8 2 0 4' 0
1. ( ) 0 4 1 0 2 3
3
2
a
a a
g a a a a
b a
a
a
∆ ≤
− ≤
− > ≥ ∆ > ⇔ ⇔ ⇔ ≥ − + ≥ ≤ − < < −
Vậy ñể thỏa mãn bài toán : 0
4
a
a
≤
≥
Bài 7: Tìm a ñể bpt:Ax + 4 > 0 (1) ñúng với mọi giá trị của x thỏa mãn ñiều kiện 4x <
Bài giải :
Nhận thấy trong hệ tọa ñộ xoy thì y = ax + 4 với
-4 0 ( 4) 0 1 1 1(4) 0 1
y a
a
y a
− ≥ ≥ −
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ ≥ ≤
Bài 8: Tìm a ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x : 2 2( 4 3)( 4 6)x x x x a+ + + + ≥
Bài giải :
ðặt : 2 24 3 ( 2) 1 1 1= + + = + − ≥ − ⇒ ≥ −t x x x t
Bài toán thỏa mãn : 1( 3) ( ) tt t f t a ≥−⇔ + = ≥ ∀
Xét f(t) với t 1≥ − Suy ra Min f(t) = -2
Vậy bài toán thõa mãn 2a⇔ ≤ −
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
III — BT PHuchoaNG TRÌNH CHuchoasacA C"N THÚC
A — LÝ THUYT
Phương pháp 1: Sử dụng phép biến ñổi tương ñương :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
2
2
2
2
0
1. 0
0
2. 0
00
3.
0
00
4.
0
A
A B B
A B
A
A B B
A B
BB
A B
A A B
BB
A B
A A B
≥
<
≥
≤ ⇔ ≥
≤
≥<
> ⇔ ∪ ≥ >
>≤
≥ ⇔ ∪ ≥ ≥
Bài 1: Giải các bpt sau :
2
2
1) 3 2 1
2) 1 3
3) 3 2 4 3
4) 3 4 1
− < −
− + ≤ +
− > −
+ − ≥ +
x x
x x x
x x
x x x
Bài giải :
1.
2 2
1
2 1 0 2
3 0 3 3
3 (2 1) 4 5 4 0
> − >
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
−
x
x
x x x
x x x x
2.
2
2 2
1 0
83 0
7
1 ( 3)
x x
x x
x x x
− + ≥
⇔ + ≥ ⇔ ≥ −
− + ≤ +
3. 2
2 3
4 3 04 3 0 23 4
1
3 2 0 3 33 2 (4 3) 1
4
≤ <
− ≥− <
⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ <
− ≥
− > − ≤ <
x
xx
x
x x x
x
4.
2
2 2
1 0 4
3 4 0 3
1 0 1 41
43 4 ( 1)
x
x
x x
x
x
x x x
+ ≤ ≤ −+ − ≥ ⇔ ⇔ + > + ≥ + − ≥ +
Bài 2: Giải các bpt sau :
2
2 2
1) 1 2( 1)
2) ( 5)(3 4) 4( 1)
3) 2 3 5 2
4) ( 3) 4 9
+ ≥ −
+ + > −
+ − − < −
− − ≤ −
x x
x x x
x x x
x x x
Bài giải :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
1.
2
2 2 2
2( 1) 0 1 1
1
1 0 1
1 3
2( 1) ( 1) 2 3 0
− ≥ ≤ − ∪ ≥
= −
⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≤ ≤
− ≤ + − − ≤
x x x
x
x x
x
x x x x
.
2.
2
2
14( 1) 0 54( 5)(3 4) 0 5 43
1
31 0 1
1 4( 5)(3 4) 16( 1) 13 51 4 0
<
− < ≤ −
+ + ≥ ≤ − ∪ ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
− ≥ ≥ ≤ −
− − <
x
x x
x x x x
x
x
x
xx x x
x x
Kết luận : 45 4
5
x x≤ − ∪ − ≤ <
3. ðk:
2 0
53 0 2
2
5 2 0
x
x x
x
+ ≥
− ≥ ⇔ − ≤ ≤
− ≥
25 2 3 2 2 11 15 2 3Bat phuong trinh ⇔ − + − > + ⇔ − + > −x x x x x x (*)
+) Xét : 32
2
x− ≤ < (*) luôn ñúng.
+) Xét : 3 5
2 2
x≤ ≤ 2 2 2 3; (*) 2 11 15 (2 3) 2 6 0 2
2
⇔ − + > − ⇔ − − < ⇔ − < <x x x x x x
Do 3 5
2 2
x≤ ≤ nên nghiệm của bpt là : 3 2
2
x≤ <
Kết luận : 2 2x− ≤ <
4. ðk: 2 4 0 2 2x x x− ≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥
Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt .
+) Xét x > 3: ( )22 2 13 4 3 4 3
6
Bat phuong trinh ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ + ⇔ ≥ −x x x x x
Suy ra x > 3 là nghiệm bpt
+) Xét : 2 2 3x x≤ − ∪ ≤ <
( )
2
22 2
3 03 0
4 3
4 0 4 3
33 3 13
132 2 6 13 0 63
6
Bat phuong trinh
+ >+ ≤
⇔ − ≥ + ⇔ ∪
− ≥ − ≥ +
≤ −≤ − > − ⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ − ≤ − ≥ + ≤ − < ≤ −
∪
xx
x x
x x x
x
x x
x
x x x x
Vậy kêt luận :
13
6
3
x
x
≤ −
≥
BÀI TP V NHÀ
Bài 1: Giải các bpt sau :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
2
2
1) 2 1 8
2) 2 6 1 2 0
3) 6 5 8 2
4) 3 2 8 7
5) 2 1
− ≤ −
− + − + >
− + − > −
+ ≥ − + −
+ − + <
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
Bài giải :
1.
2
2
88 0
1 1(1) 2 1 0 5
2 2
2 1 (8 ) 18 65 0
≤
− ≥
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤
− ≤ −
− + ≥
x
x
x x x
x x
x x
2.
( ) ( )2 222
2
2 02 0(2) 2 6 1 2
2 6 1 22 6 1 0
2
3 7 2 3 7
32 22 3 0
3 7
2
− ≥
− <
⇔ − + > − ⇔ ∪
− + > −− + ≥
<
− ≥
− ≤⇔ ∪ ⇔ ≤ ∪ >
− − > + ≥
xx
x x x
x x xx x
x
xx
x x
x x
x
3.
Tương tự : 3 5x< ≤
4.
ðk:
3 0
2 8 0 4 7
7 0
x
x x
x
+ ≥
− ≥ ⇔ ≤ ≤
− ≥
( ) ( ) ( ) ( )( )2
2 2
(4) 3 2 8 7 3 1 2 2 8 7 2 2 8 7
5
4 2 22 56 11 30 0
6
⇔ + ≥ − + − ⇔ ≥ − + − − ⇔ ≥ − −
≤
⇔ ≥ − + − ⇔ − + ≥ ⇔ ≥
x x x x x x x
x
x x x x
x
Kết luận : 4 5
6 7
x
x
≤ ≤
≤ ≤
5.
ðkiện :
2 0
1 0 0
0
x
x x
x
+ ≥
+ ≥ ⇔ ≥
≥
( )2
(5) 2 1 2 2 1 2 ( 1) 1 2 ( 1)
3 2 3 3 2 3
1 01 3 3
1
0 1 4 ( 1) 3 2 3 3 2 31
3 3
⇔ + < + + ⇔ + < + + + ⇔ − < +
+ +
< − < −
− ≥
− ∪ ⇔ ≥ − < +
− + − + < ≤ <
x x x x x x x x x x
x xxx o
x
x x x x
x x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Kết luận : 3 2 3
3
x
− +
>
Bài 2: Giải các bpt sau :
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1) ( 3 ). 2 3 2 0
22) 21 3) 4
3 9 2 1 1
− − − ≥
−
− + + +
x x x x
x x
x x
x x
Bài giải :
1.
2
2
2
122 3 2 0 21(1) 22 3 2 0 2
33 0 1
2
2
0 3
= ≤ −
− − =
⇔ ⇔ = − ⇔ = − − >
≥
− ≥
≤ ∪ ≥
x x
x x
x xx x
xx x
x
x
x x
2.
ðk :
99 2 0
2
3 9 2 0 0
x x
x
x
+ ≥ ≥ −
⇔
− + ≠ ≠
Khi ñó :
( )22
2
2 3 9 2 7(2) 21 9 2 4
4 2
+ +
⇔ < + ⇔ + < ⇔ <
x x
x x x
x
Kết luận :
9 7
2 2
0
x
x
− ≤ <
≠
3.
ðk: 1 0 1x x+ ≥ ⇔ ≥ −
Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt
+) Xét 0x ≠ :
( ) ( )
22
2
2
1 1
(3) 4 1 1 4 2 2 1 4
1 3 1 9 8
− +
⇔ > − ⇔ − + > − ⇔ − + > −
⇔ + < ⇔ + < ⇔ <
x x
x x x x
x
x x x
Kết luận : 1 8x− ≤ <
Chú ý : Dạng
( ) 0
( ). ( ) 0 ) ) 0
( ) 0
=
≥ ⇔ >
≥
g x
f x g x g x
f x
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Bài 3: Giải bpt sau :
23 4 2 2− + + + <x x
x
Bài giải :
ðk :
41
3
0
x
x
− ≤ ≤
≠
:
+) Xét : 40
3
x< ≤ :
2
23 4 2 2 3 4 2 2Bpt − + + +⇔ < ⇔ − + + < −x x x x x
x
( )2 22
2 2 0 1 9
77 9 03 4 2 2
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ >
− >− + + < −
x x
x
x xx x x
Vậy bpt có nghiệm : 9 4
7 3
x< ≤
+) Xét: 1 0 :x− ≤ < bpt luôn ñúng
Kết luận nghiệm của bpt:
1 0
9 4
7 3
x
x
− ≤ <
< ≤
Bài 4:
2 2 2
2 2 2
2
1) 3 2 4 3 2 5 4
2) 8 15 2 15 4 18 18
3) 1 1 2
4
− + + − + ≥ − +
− + + + − ≤ − +
+ + − ≤ −
x x x x x x
x x x x x x
x
x x
Bài giải :
1.
ðk:
2
2
2
3 2 0
4 3 0 1 4
5 4 0
x x
x x x x
x x
− + ≥
− + ≥ ⇔ ≤ ∪ ≥
− + ≥
( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1 4Bpt ⇔ − − + − − ≥ − −x x x x x x (*)
Nhận xét x = 1 là nghiệm
+) Xét x <1 :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(*) 1 2 1 3 2 1 4 2 3 2 4⇔ − − + − − ≥ − − − + − ≥ −x x x x x x x x x
Ta có : 12 3 4 4 2 4 , <− + − < − + − = − ∀xx x x x x
Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm .
+) Xét : 4 :x ≥
(*) 2 3 2 4⇔ − + − ≥ −x x x
Ta có : 42 3 4 4 2 4, ≥− + − ≥ − + − = − ∀xx x x x x
Suy ra : 4 :x ≥ , bất pt luôn ñúng .
Vậy nghiệm của bpt là : 1
4
x
x
=
≥
2.
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
ðiều kiện:
2
2
2
8 15 0
3
2 15 0
5 5
4 18 18 0
x x
x
x x
x x
x x
− + ≥
=
+ − ≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥
− + ≥
( )( ) ( )( )5 3 5 3 (4 6)( 3)Bpt ⇔ − − + + − ≤ − −x x x x x x (*)
Nhận xét x = 3 là nghiệm của bpt
+) Xét : 5x ≤ −
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )22 2 2
(*) 5 3 5 3 6 4 3 5 5 6 4
175 5 2 25 6 4 25 3 25 3
3
⇔ − − + − − − ≤ − − ⇔ − + − − ≤ −
⇔ − − − + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Suy ra : 5x ≤ − là nghiệm của bpt
+) Xét : 5≥x
2 2 17(*) 5 5 4 6 5 5 2 25 4 6 25 3
3
⇔ − + + ≤ − ⇔ − + + + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤x x x x x x x x x x
Suy ra : 175
3
x≤ ≤ là nghiệm của bpt .
Kết luận : Nghiệm của bpt ñã cho là :
5
3
175
3
x
x
x
≤ −
=
≤ ≤
3.
ðk: 1 0 1 1
1 0
x
x
x
+ ≥
⇔ − ≤ ≤
− ≥
:
Khi ñó :
( )
( ) [ ]
4 4
2 2 2 2
42
2
1;1
1 1 2 1 4 1 2 1 1 0
16 16
1 1 0
16
Bpt
∈ −
⇔ + + − + − ≤ − + ⇔ − − − + + ≥
⇔ − − + ≥ ∀
x
x x
x x x x x x
x
x
Vậy nghiệm của bpt là : 1 1x− ≤ ≤
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
PHuchoaNG PHÁP %T &N PHuhoanang
Bài 1: Giải bpt sau : ( ) ( ) 21 4 5 5 28 (1)+ + < + +x x x x
Bài giải :
ðặt : 2 5 28, 0t x x t= + + > ( Do 2 5 28 0, )x Rx x ∈+ + > ∀
Khi ñó : 2 2(1) 24 5 5 24 0 0 8⇔ − 0 )
2 20 5 28 8 5 36 0 9 4⇔ < + + < ⇔ + − < ⇔ − < <x x x x x
Kết luận : -9 < x < 4
Bài 2: Giải bpt sau : 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14 (1)+ + − + + − < −x x x x x
Bài giải :
ðk: 7 7 0 6
7 6 0 7
x
x
x
+ ≥
⇔ ≥
− ≥
:
ðặt :
( ) ( )
( )( )
2
2
7 7 7 6, 0 7 7 7 6 2 7 7 7 6
14 2 7 7 7 6 1
= + + − ≥ ⇒ = + + − + + −
⇒ + + − = −
t x x t t x x x x
x x x t
Khi ñó :
2 2
2
2
(1) 7 7 7 6 14 2 49 7 42 181 1 181
182 0 0 13( 0) 7 7 7 6 13
6 12 649 7 42 84 7 67
76
⇔ + + − + + + − < ⇔ + − <
⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ⇔ + + − <
≤ <
⇔ + − < − ⇔ ⇔ ≤ <
<
x x x x x t t
t t t t x x
x
x x x x
x
Kết luận : 6 6
7
x≤ <
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
Bài 3: Giải bpt sau : 3 13 2 7 (1)
22
+ < + −x x
xx
ðk : x > 0: 1 1(1) 3 2 7(2)
42
x x
xx
⇔ + < + −
ðặt : 2 21 1 1 12 . 2 1 1
4 42 2
= + ≥ = ⇒ = + + ⇒ + = −t x x t x x t
x xx x
Khi ñó : ( )2 2 1(2) 3 2 1 7 2 3 9 0 3( 2) 3(3)
2
⇔ ⇔ > ≥ + >t t t t t t x
x
ðặt : , 0= >u x u
( ) 21 3 7 3 73 3 2 6 1 0 0
2 2 2
3 7 3 7 8 3 7 8 3 70 0
2 2 2 2
− +
⇔ + > ⇔ − + > ⇔
− + − +
⇔ ⇔
u u u u u
u
x x x x
Kết luận : 8 3 7 8 3 70
2 2
x x
− +
BÀI TP V NHÀ
Bài 1: Giải các bpt sau :
2 2
2 2
2 2
1) 3 6 4 2 2
2) 2 4 3 3 2 1
3) 3 5 7 3 5 2 1
+ + < − −
+ + − − >
+ + − + + ≥
x x x x
x x x x
x x x x
Bài giải :
1.ðặt :
2
2 2 2 2 2 43 6 4, 0 3 6 4 3( 2 ) 4 2
3
−
= + + ≥ ⇒ = + + = + + ⇒ + = tt x x t t x x x x x x
Khi ñó : ( )
2
2 241 2 3 10 0 0 2( 0) 0 3 6 4 2
3
−
⇔ < − ⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ≤ + + <tt t t t t x x
2 2 23 6 4 4 ( 3 6 4 0) 3 6 0 2 0⇔ + + ⇔ + < ⇔ − < <x x do x x x x x
2.ðặt : 2 2 2 2 23 2 , 0 3 2 2 3= − − ≥ ⇒ = − − ⇒ + = −t x x t t x x x x t
Khi ñó : ( ) ( )2 2 52 2 3 3 1 2 3 5 0 0 (do t 0)2⇔ − + > ⇔ − − < ⇔ ≤ < ≥t t t t t
2
2
3 150 3 2 3 1252 3 2
4
− ≤ ≤
⇔ ≤ − − < ⇔ ⇔ − ≤ ≤
− − <
x
x x x
x x
3. ðặt : 2 2 23 5 2, 0 3 5 2= + + ≥ ⇒ + = −t x x t x x t
Ta ñược :
( )22 2 2 25 1 5 1 5 1 2 4 2 0 3 5 2 2+ − ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + ≤t t t t t t t t x x
2
2
2 2 113 5 2 0 3
2 113 5 2 4 2 3 33
−
− ≤ ≤ −≤ − ∪ ≥ + + ≥ ⇔ ⇔ ⇔
− ≤ ≤+ + ≤
− ≤ ≤
xx x
x x
xx x
x
Bài 2: Giải các bpt sau :
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN
31) 2 1 2 1
2
5 12) 5 2 4
22
13) 2 3
1
+ − + − − >
+ < + +
+
− >
+
x x x x
x x
xx
x x
x x
Bài giải :
1. ( ) ( ) ( )2 2 31 1 1 1 1 2x x⇔ − + + − − >
ðk : 1x ≥ : 3Bpt 1 1 1 1
2
⇔ − + + − − >x x
ðặt : 1, 0t x t= − ≥
Khi ñó :
31 1 (2)
2
3 3) 1: (2) 2 1 1 (do t 1) 2
2 4
3) 0 1: (2) 2
2
⇔ + + − >
+ ≥ ⇔ > ⇔ > ⇔ − ≥ ≥ ⇔ ≥
+ ≤
t t
t t t x x
t
Vậy :
1
0 1 1
2
x
x
x
≥
≤ − ≤ ⇔ ≤
Kết luận : 1x ≥
2. ðk : x > 0. ( ) 1 12 5 2 4(3)
22
x x
xx
⇔ + < + +
ðặt : 21 1 12 . 2, 2 1
42 2
= + ≥ = ≥ ⇒ + = −t x x t x t
xx x
Khi ñó : ( ) ( )2 2
1
3 5 2 1 4 2 5 2 0 2
2
⇔
>
t
t t t t
t
Do ñk: Ta có 1 2 2 4 1 0
2
+ > ⇔ − + >x x x
x
ðặt : , 0u x u= >
Ta ñược : 2u2 – 4u + 1> 0
2 2 2 2 3 2 20 0
2 2 2
2 2 2 2 3 2 2
2 2 2
− − −
< < < < <
⇔ ⇔ ⇔
+ + +
> > >
u x x
u x x
3. ðk: 1 0 :x x
ðặt: 2
1 1
, 0
1
+
= > ⇒ =
+
x x
t t
x
File đính kèm:
- [ToanHocTHPT]BaiTapBatPhuongTrinh-DucKhanh.pdf