Bài giảng lớp 10 môn Đại số - Bài 3: Bất đẳng thức giữa trung bình công và trung bình nhân

3. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CôNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂNa Với hai số bất kỳ không âm HABOCDCho HA = a, HB =b. Tính OD và HC theo a và b. So sánh OD và CH OD = CH =Ta có :OD ≥ CH  ≥Định lí: với mọi a ≥ 0, b≥ 0 ta có: Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = bVí dụ 1:Cho a, b ,c R+ Chứng minh: Ví dụ 2: cho 3 số không âm a, b, c.Chứng minh: (a+b)(ab+1) ≥ 4ab  6Hệ quả:Cho a, b  R+ Nếu a+b = k không đổi thì ab lớn nhất  a = b Nếu a.b = k không đổi thì a+b nhỏ nhất  a = bỨng dụng: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :y= (x+2)(3-x) trên đoạn [-2; 3]Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :với x >1Ta có: X-1 > 0 và > 0 x >1Áp dụng BĐT Côsi ta có: y ≥ 5Vậy Miny = 5 khi x = 3Dấu = xẩy ra  (x-1)2 = 4  x= 3b. Với ba số bất kỳ không âm Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có:Đẳng thức xẩy ra  a = b = cVí dụ :Cho a, b ,c R+. Chứng minh: Nếu a+b+c = k không đổi thì abc lớn nhất  a=b=c Nếu a.b.c= k không đổi thì a+b+c nhỏ nhất  a=b=cHệ quả:Củng cố Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân Cho 2 số: Đẳng thức xẩy ra  a = bVới a ≥ 0, b ≥ 0, ta có:Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có:Đẳng thức xẩy ra  a = b = cCho 3 số: Ứng dụng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số