Bài giảng khối 11 môn Đại số bài 3: Cấp số cộng

Chào các em !CHƯƠNG IIIBµI 3 CẤP SỐ CỘNG1/ §Þnh nghÜaCho dãy số: 3, 1, -1, -3, -5, Hãy tính: u2 - u1, u3 - u2 , u4 - u3 , Từ đó nhận xét gì quy luật của dãy số đó ?GTa có: un+1 un = - 2, với mọi n = 1,2,3,suy ra un+1 = un + 2 với n = 1,2,3, Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn),trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d gọi là công sai. un+1 = un + d ( n = 1, 2, 3, .... )Kí hiêu : u1 , u2 , u3 , ... un, ..... VÝ dôVÝ dô 1. Dãy số : 1, 1, 1, 1, 1. Là một cấp số cộng với u1 = 1 , d = 0 , n = 5VÝ dô 2. Chứng minh rằng dãy số sau lập thành một cấp số cộng, xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó 3, 14, 25, ..., 11n - 8, ...Gi¶i :Ta có un+1 - un = 11(n + 1) - 8 - (11n - 8) = 11 không đổi với mọi n = 1, 2, 3, ... Tức là un+1 = un + 11 với mọi n = 1, 2, 3, ... Vây dãy số trên là cấp số cộng có u1 = 3, d = 11Hoạt động 1.Trong các dãy sau dãy nào là cấp số cộng:a/ -5 , -2 , 1 , 4 , 7 , 10.b/ 3 , 5 , 5 , 6 , 5, , 10 , 5 , 12. Hướng dẫna/ Dãy a / là cấp số cộng với u1 và d = 3b/ Dãy b/ không phải cấp số cộngNhËn xÐt ? Ta thấy cấp số cộng được định nghĩa bằng phương pháp truy hồi, do đó một cấp số cộng được xác định khi ta biết các yếu tố nào? 2/ Sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè céngCho cÊp sè céng (un) , biÕt u1 vµ d . H·y t×m un ?Ta cã : u2 = u1 + d u3 = u2 + d ................ un = un-1 + dCéng vÕ víi vÕ n - 1 ®¼ng thøc trªn ta ®­îc un = u1 + ( n - 1)d§Þnh lÝ 2Sè h¹ng tæng qu¸t un cña mét cÊp sè céng cã sè h¹ng ®Çu u1 vµ c«ng sai d ®­îc cho bëi c«ng thøc un = u1 + ( n - 1 )d Hoạt động 2 Cho cấp số cộng (un) có u1 = 13 và công sai d = - 3. Hãy tính u31 ? Hướng dẫn Ta có u31 = u1 + 30 d = -77 un = u1 + (n-1)dVÝ dô 3Tìm số lẻ thứ 1000 ?Gi¶iC¸c sè lÎ : 1, 3, 5, ... LËp thµnh mét cÊp sè céng cã u1 = 1; d = u2 - u1 = u3 - u2 = ... = 2Do ®ã un = u1 + (n - 1)d = 1+ (n - 1)2 = 2n - 1Suy ra : u1000 = 2.1000 - 1 = 1999VËy sè lÎ thø 1000 b»ng 1999 Ví dụ 4 Cho một họ các đưòng tròn đồng tâm (o,r1), (o,r2), , (o,rn), mà dãy số(rn) là cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3. Gọi u1 là diện tích hình tròn (o,r1) và mỗi số nguyên n >1, gọi un là diện tích hình vành khăn tạo bởi đường tròn (o,rn-1) và đường tròn (o,rn). Chứng minh rằng (un) là một cấp số cộng.Hãy xác định công sai số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. Giải: Đặt r0 = 0. Khi đó, với mỗi n > 0, ta có: un = Π(rn2 – rn-12 ) = Π (rn – rn-1)(rn + rn-1) = 3 Π(rn + rn-1) Suy ra un+1 – un = 3 Π(rn+1 + rn – rn – rn-1) = 3 Π(3+3) = 18 Π Do đó (un) là một cấp số cộng với công sai d = 18 Π, và số hạng đầu u1 = 3Π(r1 + r0) =9Π.. Từ đó, theo định lí 2, ta đựơc un = 9Π + (n-1).18 Π.=992n-1) Π.,n>0.3/ TÝnh chÊt c¸c sè h¹ng cña mét cÊp sè céngCho cÊp sè céng (un) , t×m mèi liªn hÖ gi÷a ba sè h¹ng liªn tiÕp uk-1 , uk , uk+1 víi k = 2, 3,... ?Ta cã : uk-1 = u1 + (k - 2)d uk+1 = u1 + kdCéng vÕ víi vÕ hai ®¼ng thøc trªn ta ®­îc : uk-1 + uk+1 = 2u1+ 2(k - 1) = 2uk uk = ( uk-1 + uk+1) / 2§Þnh lÝ 1: Trong mét cÊp sè céng, mçi sè h¹ng kÓ tõ sè h¹ng thø hai (vµ trõ sè h¹ng cuèi ®èi víi cÊp sè céng h÷u h¹n), ®Òu lµ trung b×nh céng cña hai sè h¹ng kÒ bªn nã, tøc lµ uk = (uk-1 + uk+1) / 2 (k ≥ 2) (3)NhËn xÐt : ®iÒu ng­îc l¹i còng ®óngEm h·y gi¶i thÝch ? Hoạt động 3. Cho cấp số cộng (un) có u1 = -1 và u3 = 3. Hãy tính u2 và u4 ? Hướng dẫn u2 = 1, u4 = 5 Ta có: u1 + u3 = 2u2 ; u2 + u4 = 2u34/ tæng n sè h¹ng ®Çu cña mét cÊp sè céngCho cÊp sè céng (un), h·y tÝnh tæng Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un ?VËn dông nhËn xÐt 2 ë môc 1:u2 + un-1 = u3 + un-2 = ... = u1 + unTa viÕt tæng Sn d­íi hai d¹ng : Sn = u1 + u2 + u3 +... + un-1 + un Sn = un + un-1 + ... + u2 + u1Suy ra : 2Sn = n(u1 + un)VËy : Sn = n (u1 + un) / 2Liªn hÖ víi c«ng thøc tæng qu¸t un = u1 + (n-1)dTa cã : Sn = n [2 u1 + (n - 1 )d] / 2u1unu2 un-1unu1§Þnh lÝ 3§Ó tÝnh tæng Sn ta cã hai c«ng thøc sau :Sn tÝnh theo u1 vµ un Sn = n (u1 + un) /2Sn tÝnh theo u1 vµ d Sn = n [ 2 u1 - ( n -1 )d ] / 2 Hoạt động 4 Cho cấp số cộng (un) có u1 = -2 và công sai d = 2. Hãy tính tổng 17 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó ? Hướng dẫn Sn = n ( u1 + un )/2 = n[ 2u1 + ( n-1)d]/2 S17 = 17 ( -2 + 30 )/2 = 238VÝ dôVÝ dô 5/ Gäi Sn , Sc , Sl , lÇn l­ît lµ tæng cña n sè tù nhiªn kh¸c kh«ng, sè ch½n kh¸c kh«ng, sè lÎ ®Çu tiªnH·y tÝnh : Sn , Sc , Sl ?Gi¶iC¸c sè tù nhiªn kh¸c kh«ng , c¸c sè ch½n kh¸c kh«ng, c¸c sè lÎ, lÇn l­ît lËp thµnh c¸c cÊp sè céng, ¸p dông c«ng thøc tÝnh tæng n sè h¹ng ®Çu cña mét cÊp sè céng ta ®­îc :Sn = n (u1 + un ) / 2 => Sn = n (1 + n) / 2Sn = n ( u1 + un ) /2 => Sc = n (n + 1)Sn = n ( u1 + un ) / 2 => Sl = n2VÝ dô 6 .Mét cÊp sè céng (un) cã u3 = - 15 , u14 = 18 . TÝnh u1 , d ? S20 ?Gi¶iTheo (gt) ta cã : u1 + 2 d = - 15 ( 1) vµ u1 + 13 d = 18 (2), trõ vÕ víi vÕ (2) cho (1) ta ®­îc 11 d = 33 suy ra d = 3 , thay vµo (1) cã u1 = - 21¸p dông c«ng thøc tÝnh tængS20 = 20 [ 2 (- 21 ) + (20 - 1 ) . 3 ] / 2 = 150NhËn xÐt :C«ng thøc Sn , un , nªu mèi liªn hÖ gi÷a 5 yÕu tè u1 , un , n , Sn , d BiÕt 3 trong 5 yÕu tè b»ng c¸ch lËp hÖ ph­¬ng tr×nh ta sÏ t×m ®­îc 2 yÕu tè cßn l¹i Ví dụ7. Một công ti TNHH thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phươngán sau : Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng /quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti. Giải Với mỗi số nguyên n, kí hiệu un(triệu đồng) là mức lương của kĩ sư ở quý làm việc thứ n cho công ti. Theo giả thiết của bài toán ,ta có : u1 = 4,5 và un+1 = un + 0,3 (n>0).Do đó , dãy số (un) là một cấp số cộng với công sai d = 0,3. Vì mỗi năm có 4 quý nên 3 năm có 12 quý. Như thế theo ycbt ta phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un). Theo định lí 2, ta có u12 = 4,5 + (12-1).0,3 = 7,8. Theo định lí 3,ta được: S12 = 12.(4,5 + 7,8)/2 =73,8 (triệu đồng).C«ng thøc cÇn nhíun+1 = un + d ( n = 1, 2, 3, ... )un = u1 + (n - 1)d (n = 1, 2, 3, ... )uk = ( uk-1 + uk+1 ) / 2 ( k = 2, 3, ... ) Sn = n ( u1 + un ) / 2Sn = n [ 2 u1 + ( n - 1 ) d ] /2LuyÖn tËpBa sè h¹ng liªn tiÕp cña mét cÊp sè céng cã tæng b»ng 33, cßn tÝch cña chóng b»ng 1287 . T×m c¸c sè ®ã ?Gi¶i Ta cã: u1 + u2 + u3 = 33 (1) vµ u1.u2.u3 = 1287 (2) . Do u1 + u3 = 2 u2 nªn tõ (1) ta suy ra u2 = 11, kÕt hîp víi (2) ta cã ( 11 - d ). 11. (11 + d ) = 1287 suy ra d =2 hoÆc d = - 2.VËy 3 sè cÇn t×m lµ: 9,11,13 Bài 1 Bài 2 Cho cấp số cộng có u2 = 3; u7 = 13 1/ Tính u1, d , S10 ? 2/ Số 31 có phải là số hạng của cấp số đã cho hay không ? Nếu phải thì là số hạng thứ bao nhiêu ? Hướng dẫn1/ d = ( u7 – u2 )/ (7-2) =2 u1 = u2 – d = 1; u10= 19 ; S10 = ( u1 + un )/2 = 50 2/ Giả sử số 31 là số hạng thứ x của cấp số cộng đã cho. Điều kiện x nguyên dương. Ta có: u x = u1 + ( x - 1)d = 31,suy ra (x-1)2 = 30 do đó x = 16. Vậy là số hạng thứ 16 của cấp số cộng đã cho.Bµi tËpBµi : 1 ®Õn 8 trang 99 – 100Bæ sung . CMR : Tam gi¸c ABC cã 3 gãc sao cho cot (A/2) , cot (B/2) , cot (C/2) theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng th× 3 c¹nh a, b, c, theo thø tù ®ã còng lËp thµnh mét cÊp sè céng Phương án 1 Phương án 2 Em chọn lối nào ? Khi kí hợp đồng lao động với các kĩ sư tuyển dụng, công ti liên doanh A đề suất 2 phương án để người lao động tự chọn. Hai phương án đó chỉ khác nhau ở điều khoản về mức lương mà người lao động được nhận; Cụ thể : ? Ở phương án 1 : Người lao động được nhận 36 triệu đồng cho năm lao động đầu tiên, và kể từ năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ được thêm 3 triệu đồng mỗi năm Ở phưong án 2 : Người lao động sẽ nhận được 7 triệu động cho mỗi quý làm việc đầu tiên, kể từ Quý làm việc thứ hai , mức lương sẽ được tăng thêm 500 000 đồng mỗi quý. Nếu em là người kí hợp đồng lao động với công ti A em chọn P.A?H­íng dÉn bµi tËp vÒ nhµ§Ó lµm bµi 6 vµ bµi 8 thuËn lîi c¸c em cÇn l­u ý:Liªn hÖ gi÷a tæng S vµ tÝch P cña cÊp sè céng h÷u h¹nNÕu cÊp sè céng cã ba sè h¹ng th× ta cã thÓ gäi ba sè h¹ng cña cÊp ®ã theo thø tù lµ :x - d, x, x + d, khi ®ã S = 3x, P = x(x2 - d2 )gäi 4 sè h¹ng ®ã theo th­ tù lµ :X - 3r, x - r, x+ r, x - 3r, khi ®ã S = 4x; P = (x2 - r2)(x2 - 9r2)C¶m ¬n Cấp số cộng và ứng dụng