Bài giảng Hình học lớp 12 - Vị trí tương đối của hai mặt phẳng chùm mặt phẳng

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNGCHÙM MẶT PHẲNG1. Một số quy ước và kí hiệuHai bộ n số (A1 ; A2; ...; An) và (A’1; A’2; ...; A’n) được gọi là tỉ lệ với nhau nếu có số t  0 sao cho A1 = tA’1, A2 = tA’2, ... An = tA’n.Khi hai bộ số (A1 ; A2; ...; An) và (A’1; A’2; ...; A’n) tỉ lệ với nhau ta kí hiệu: A1 : A2 : ... : An = A’1 : A’2 : ... : A’n.Ngoài ra ta còn dùng kí hiệu sau:Ví dụ: hai bộ 4 số (2 ; 4; 0; -6) và (1; 2; 0; -3) là tỉ lệ với nhau (giá trị t trong trường hợp này là t = ).Ví dụ: 2 : 4: 0: -6 = 1: 2: 0: -3.Nếu hai bộ số (A1 ; A2; ...; An) và (A’1; A’2; ...; A’n) không tỉ lệ, ta kí hiệu: A1 : A2 : ... : An  A’1 : A’2 : ... : A’n.2VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNGCHÙM MẶT PHẲNG2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngTrong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng () và (’) có phương trình tổng quát lần lượt là: () : Ax + By + Cz + D = 0 (1)(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)vtpt vtpt ()(’)()  (.’)()(’)Cho hai mặt phẳng trong không gian thì giữa chúng có những vị trí tương đối nào?VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNGCHÙM MẶT PHẲNG2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngTrong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng () và (’) có phương trình tổng quát lần lượt là: () : Ax + By + Cz + D = 0 (1)(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)vtpt vtpt ()(’)()  (.’)()(’)VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNGCHÙM MẶT PHẲNG2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngTrong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng () và (’) có phương trình tổng quát lần lượt là: () : Ax + By + Cz + D = 0 (1)(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)vtpt vtpt + () cắt (’)  A : B : C  A’ : B’ : C’. + ()  (’) + () // (’) Ta có:Ví dụ. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:a) x + 2y – z + 5 = 0 và 2x + 3y – 7z – 4 = 0b) x - 2y – z + 3 = 0 và 2x - y + 4z – 2 = 0c) x + y + z - 1 = 0 và 2x + 2y - 2z + 3 = 0d) 3x - 2y - 3z + 5 = 0 và 9x - 6y - 9z - 5 = 0e) x - y + 2z - 4 = 0 và 10x - 10y + 20z - 40 = 0cắt nhaucắt nhaucắt nhausong songtrùng nhauCó: 1: 2: -1  2: 3: -7Có: 1: -2: -1  2: -1: 4Có:Có: 1: 1: 1  2: 2: -2Có:VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNGCHÙM MẶT PHẲNG3. Chùm mặt phẳng() : Ax + By + Cz + D = 0 (1)(’) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (1’)Cho hai mặt phẳng () và (’) cắt nhau có phương trình : a) Định lí. Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của () và (’) đều có phương trình dạng:(Ax + By + Cz + D) + (A’x + B’y + C’z +D’) = 0, 2 + 2 0 (2)Ngược lại mỗi phương trình dạng (2) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của () và (’).b) Định nghĩa. Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng () và (’) gọi là một chùm mặt phẳng.Phương trình (2) gọi là phương trình của chùm mặt phẳng.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNGCHÙM MẶT PHẲNGc. Ví dụCho ba mặt phẳng (1), (2), (3) lần lượt có phương trình: (1) : 2x – y + z + 1 = 0(2) : x + 3y – z + 2 = 0(3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 01) Chứng minh rằng (1) cắt (2).Giải:(1) cắt (2) vì 2 : -1 : 1  1 : 3 : - 1.Nhận xét mối quan hệ của hai vec tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng?+ Có vtpt của mp (1) là:+ Có vtpt của mp (2) là:c. Ví dụCho ba mặt phẳng (1), (2), (3) lần lượt có phương trình: (1) : 2x – y + z + 1 = 0(2) : x + 3y – z + 2 = 0(3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 02) Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2) và qua điểm M0(1 ; 2 ; 1).Giải:Phương trình mặt phẳng () có dạng:(2x – y + z + 1) + (x + 3y – z + 2) = 0 (2 + 2  0 ) (2 + )x + (- + 3)y + ( - )z +  + 2 = 0Điểm M0= (1 ; 2; 1)  () nên:(2 + )1 + (- + 3)2 + ( - )1 +  + 2 = 0Chọn  = 4,  = -1 ta được phương trình của () là:7x – 7y + 5z + 2 = 0 2 + 8 = 0.Phương trình mặt phẳng () có dạng như thế nào?c. Ví dụCho ba mặt phẳng (1), (2), (3) lần lượt có phương trình: (1) : 2x – y + z + 1 = 0(2) : x + 3y – z + 2 = 0(3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 03) Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2) và song song với trục Oy.Giải:Phương trình mặt phẳng () có dạng:(2x – y + z + 1) + (x + 3y – z + 2) = 0 (2 + )x + (- + 3)y + ( - )z +  + 2 = 0 (*)Vì () song song với Oy nên hệ số của y trong (*) phải bằng 0, hay - + 3 = 0.Chọn  = 3,  = 1 ta được phương trình của () là:7x + 2z + 5 = 0c. Ví dụCho ba mặt phẳng (1), (2), (3) lần lượt có phương trình: (1) : 2x – y + z + 1 = 0(2) : x + 3y – z + 2 = 0(3) : -2x + 2y + 3z + 3 = 04) Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của hai mặt phẳng (1) và (2) và vuông góc với mặt phẳng (3).Giải:Phương trình mặt phẳng () có dạng:(2 + )x + (- + 3)y + ( - )z +  + 2 = 0 (*)+ mp() có vtpt + mp(3) có vtpt ()  (3)  -3 +  = 0. 5x + 8y – 2z + 7 = 0  (2 + ).(-2) + (- + 3).2 + ( - ).3 = 0Chọn  = 1,  = 3 ta có pt mp ():CỦNG CỐQua bài này các em cần nắm được:+ Các vị trí tương đối của hai mặt phẳng và cách xét.+ Khái niệm chùm mặt phẳng và ứng dụng trong bài toán viết phương trình mặt phẳng.BÀI TẬP VỀ NHÀXem lại các ví dụ đã chữa và làm các bài tập trong GSK trang 87 – 88.12A1