Bài giảng Hình học 10 Kỳ II: Elip

TỔ TOÁNTRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNGHÌNH HỌC LỚP 10 ___ HỌC KỲ IIELIP2c°°MTrong mặt phẳng Oxy,cho hai điểm cố định F1 , F2 và độ dài a.Tìm tập hợp các điểm M thỏa MF1+ MF2 = 2a (a>c>0, với F1F2 = 2c )F1F2I. ĐỊNH NGHĨA__ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC.1. ĐỊNH NGHĨA :M  (E )  MF1 + MF2 = 2a , (a > c> 0 )°°F1F2M2cTrong mặt phẳng, cho hai điểm F1,F2,với F1F2 = 2cĐường elip (elip) là tập hợp các điểm M thỏa :MF1 + MF2 = 2a(a > c > 0 )°F1 , F2 : tiêu điểm °F1F2 = 2c : tiêu cự ° MF1 , MF2 : bán kính qua tiêu ( M nằm trên elip )MF1F22c2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP :°°F1F2 yx°OCho elip ( E ) là tập hợp các điểm M thỏa :MF1+MF2= 2aa).Cách chọn hệ trục tọa độ:(-c;o)(c;o)(với F1F2= 2c, a>c>0)*Trục hoành x/Ox: đường thẳng F1F2 (F2 nằm trên tia Ox)*Trục tung y/Oy : đường trung trực của F1F2 * Gốc tọa độ O :trung điểm F1F2xyF1F2O-ccTa có: F1(-c,0) ; F2(c,0)Với mọi M(x,y)(E), ta cóMF12 = MF12 - MF22 = MF12 + MF22 = MF22 =M(x+c)2 + y2(x-c)2 + y24cx ( 1 )2(x2+y2+c2) ( 2 )Từ ( 1 ) ta có : (MF1+MF2)( MF1- MF2 ) = 4cxSuy ra :b). Lập phương trình :(Vì M(x,y)(E) nên : MF1+ MF2 = 2a )Do đó MF1 - MF2 =Suy ra:MF1 = MF2 = 2a ( MF1- MF2 ) = 4cx( A )(MF1+ MF2 )(MF1- MF2 ) = 4cx. . . . . . . . x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)Thế ( A ) vào ( 2 ) , ta được :()()22+ = 2 ( x2 + y2 +c2 )Biến đổi , rút gọn , ta được( chia 2 vế cho a2( a2 – c2 ) > 0 ) MF12 + MF22 = 2(x2+y2+c2) ( 2 )Đặt : b2 = a2- c2 (b > 0)Phương trình trở thành:Phương trình (*) là phương trình chính tắc của Elip (E)(*)TÓM TẮT1) Định nghĩa:F1, F2 ( cố định ): tiêu điểmF1F2 = 2c : tiêu cự 2) Phương trình chính tắc (E) :a > c > 0 , b > 0 ; 3) Bán kính qua tiêu : M(x,y)(E):MF1 = ; MF2 =M  (E )  MF1 + MF2 = 2a , a > c > 0 Trong mp Oxy cho (E) có phương trình : Tiêu cự của (E) là :42816ĐS:a)b)c)d)3). VÍ DỤ 1 :Trong mặt phẳng Oxy, cho Elip (E ) có tiêu cự là 10 và đi qua điểm M(0,2). Phương trình chính tắc của (E) là :ĐS:a)b)c)d)4). VÍ DỤ 2 : Trong mp Oxy cho (E):Cho điểm M  (E) có xM = Độ dài MF1 – MF2 là : ĐS:2438a)b)c)d)5). VÍ DỤ 3 :( tiêu điểm : F1, F2 )EM ĐÃ CHỌN ĐÚNG !321EM ĐÃ CHỌN SAI !231Cho M0(x0, y0)Đối xứng của M0 qua trục hoành là : M1( x0 , - y0 )Đối xứng của M0 qua trục tung là : M2( - x0 , y0 )Đối xứng của M0 qua gốc tọa độ là : M3(- x0 , - y0)xyoM0M1M3M2y0 -y0x0- x0 ( E ) ( E ) ( E ) ( E )°°F1F2 M°xO(-c;o)(c;o)y ( a> c > 0 , b2 = a2 – c2 , b > 0 ) Hai trục đối xứng : x’Ox , y’OyTâm đối xứng : gốc tọa độ OII). HÌNH DẠNG CỦA ELIPTrong mặt phẳng Oxy , cho Elip ( E ) có phương trình :1). Tính đối xứng :( E ) có :* Các đỉnh :°°F1F2 M°O(-c;o)(c;o)y-aa-bbx * Độ dài trục lớn : A1A2 = 2a* Độ dài trục nhỏ B1B2 = 2b2). Giao điểm với các trục :* (E) cắt trục hoành tại A1(- a, 0) và A2( a, 0 )* (E) cắt trục tung tại B1(0,-b ) và B2( 0, b )*Trục lớn : A1A2*Trục nhỏ: B1B2°°F1F2 M°O(-c;o)(c;o)y-aa-bbx3). HÌNH CHỮ NHẬT CƠ SỞ : M(x,y)  (E)(E) nội tiếp trong hình chữ nhật tâm O,các cạnh nằm trên các đường thẳng : x = a, x = -a, y = b, y = -b-a  x  a-b  y  b°°F1F2 °O(-c;o)(c,o)y-aa-bbxCÁCH VẼ ELIP Cho elip ( E ) : ( a > b > 0 )1). Vẽ hệ trục tọa độ2).Vẽ các đỉnh : A1( -a,0 ) ; A2( a , 0 ) B1 (0, - b ) ; B2(0 ,b )3).Vẽ hình chữ nhật cơ sở4).Vẽ elip (E) nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở (4 tiếp điểm là 4 đỉnh )5). Vẽ tiêu điểm F1,F2nằm trên trục x/Ox saocho : B2F1 = B2F2 = a °° °(b2 = a2 – c2  c2 = a2 - b2 ). Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau :a/ Độ dài trục lớn bằng 6 , tiêu cự bằng 4 .b/ Một tiêu điểm F1(-2;0) và độ dài trục lớn bằng 10.4).VÍ DỤ :HƯỚNG DẪN GIẢI :a).2a = 62c = 4{a = 3c = 2{b2 = a2 – c2 = 9 – 4 = 5Vậy : ( E ) :. Viết phương trình chính tắc của elíp trong các trường hợp sau :a/ Độ dài trục lớn bằng 6 , tiêu cự bằng 4 .b/ Một tiêu điểm F1(-2;0) và độ dài trục lớn bằng 10.4).VÍ DỤ :HƯỚNG DẪN GIẢI :b).F1(- 2,0 )  c = 2 2a = 10  a = 5 b2 = a2 – c2 = 25 – 4 = 21Vậy ( E ) : TÓM TẮT VỀ ELIP 1) Phương trình chính tắc: (a > c > 0 , b2 = a2 - c2, b 0) 2) Bán kính qua tiêu MF1 = MF2 =Trục đx:x’Ox , y’OyTâm đx : gốc O Các đỉnh : = 2a là độ dài trục lớn. B1B2 = 2b là độ dài trục nhỏ.(E) :M(x,y) (E)* Tiêu điểm :III). TÂM SAI CỦA ELIP ( a> c> 0, b>0 , b2 = a2 - c2 )1). ĐỊNH NGHĨA:CHÚ Ý:Đường trịnxyF1F2O-ccMTrong mặt phẳng Oxy , cho Elip (E)cóù phương trình:Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn2).VÍ DỤ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) có tâm sai e = 0,5 và độ dài trục lớn là 12. Viết phương trình chính tắc của (E). HƯỚNG DẪNTheo đề bài :2a = 12  a =6e = 0,5  c = ae = 3Do đó b2 = a2 – c2 = 36 – 9 = 27Vậy phương trình của (E) là : = 1 Tìm tâm sai của elip biết : độ dài trục lớn bằng hai lần độ dài trục nhỏ .HƯỚNG DẪN GIẢI :Ta có 2a = 2(2b)  a = 2bMà : .Suy ra : a2 = b2 + c2 Vậy :3). VÍ DỤ 2:4)VÍ DỤ 3 :a). Tìm tâm sai của elíp biết : Các đỉnh trên trục nhỏ nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới một gĩc vuơng .HƯỚNG DẪN GIẢI :xyF1F2O-ccTam giác B2F1F2 vuông tại B2 Do đó : b = c 2OB2 = F1F2b). Tìm tâm sai của elip biết : Khoảng cách giữa hai đỉnh trên trục lớn và trên trục nhỏ bằng tiêu cự .HƯỚNG DẪN GIẢI :xyF1F2O2cvuơng tại OTa cĩ : Theo đề bài : A2B2 = 2cThế (2) vào (1) ta được:4c2 = ( a2 – c2 ) + a2IV). LIÊN HỆ GIỮA ELIP VÀ ĐƯỜNG TRÒN1). ĐỊNH NGHĨA :Trong mặt phẳng Oxy ,cho số thực k ( 0 0 )Phép co về trục hoành , theo hệ số co kbiến đường tròn (C) : x2 +y2 = a2thành elip (E): ( với b = ka )x/xoy/ya- aa- ab- b