Bài giảng Hình học 10: Elip

ELIPĐỊNH NGHĨA: Trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt F1 và F2, đặt F1F2 =2c và hằng số dương 2a sao cho 2a>2cTập hợp tất cả các điểm M trong mặt phẳng sao cho M F1 + MF2=2a được gọi là một Elip * F1; F2 gọi là tiêu điểm * 2c gọi là tiêu cự * M F1 và MF2 (M Elip) gọi là bán kính qua tiêu ứng với MTa có:M Elip  M F1 +MF2=2a F1 .. F2 . M . M1. MM2 .F1F2..d* Nhận xétLấy M (E)* M1là điểm đối xứng với M qua F1F2M1F1 + M1F2 = MF1+ MF2 =2a M1  (E)* M2 là điểm đối xứng của M qua đường trung trực d của F1F2 M2  (E) (E) nhận F1F2 làm trục đối xứng  (E) nhận d làm trục đối xứng , và giao điểm của d và F1F2 làm tâm đối xứngII. PHÖÔNG TRÌNH CHÍNH TAÉC CUÛA ELÍPChọn hệ tọa độ sao cho F1(-c , 0) , F2(c , 0)F1F2MxyO1. Bán kính qua tiêuF1M + F2M =2aF1M 2 - F2M 2 = 4cxF1M + F2M = 2aF1M - F2M =acx2F1M =cxaa+F2M =cxaa-Ta có:M(x,y) (E) F1M + F2M =2aF1M= (x + c , y)F2M= (x - c , y) F1M 2 = (x + c)2 + y2  F2 M 2 = (x – c)2 + y2 12222=+byax(b2 = a2 – c2 , b > 0)Phương trình trên gọi là phương trình chính tắc của elip (E)Lưu ý : a > b > 0 và a > c > 02 . Phöông trình chính taéc cuûa elípChứng minh:M(x,y) (E), ta có :F1M =cxaa+F2M =cxaa-F1M 2 = (x + c)2 + y2  (a + cx / a) = (x + c)2 + y2  a4 + c2 x2 = a2 x2 + c2a2 + y2a2  a4 – c2a2 = a2 x2 – c2 x2 + y2a2 x2(a2 - c2) + a2 y2 = a2(a2 - c2)(b2 = a2 - c2)12222=+byax3. Nếu chọn hệ tọa độ sao cho F1(0 , -c) và F2(0 , c)1=+222aybx2(b2 = a2 - c2 , b > 0)Bán kính qua tiêuF1M =acya+F2M =acya-OxyMF1F2Thì phương trình của elip là:III. HÌNH DẠNG ELIPXét elip có phương trình chính tắc:12222=+byax(a>b>0)1. Tính đối xứngPhương trình của elip có bậc chẵn đối với x và y nên lip có 2 trục đối xứng là Ox và Oy và do đó nó có tâm đối xứng là gốc tọa độTổng quát: Elip có 2 trục đối xứng: -Trục đối xứng thứ 1 đi qua 2 tiêu điểm - Trục đối xứng thứ 2 là trung trực của F1F22. Tương giao của elip với các trục đối xứnga/Với trục Ox :ïîïíì=+=102222byaxyîíì==0yaxÚîíì=-=0yaxOx cắt elip tại 2 điểm A1(-a,0) và A2(a,0)b/ Với trục Oy +ïïîíì==012222xbyaxîíì==byx0Úîíì-==byx0Oy cắt elip tại 2 điểm B1(0,-b) và B2(0,b)Ta gọi: * A1A2 là trục lớn ; 2a : độ dài trục lớn * B1B2 là trục nhỏ ; 2b : độ dài trục nhỏ * A1, A2, B1,B2 là 4 đỉnh của elipNhận xét:Tiêu điểm của elip nằm trên trục lớn3 Hình chữ nhật cơ sởTa có:ïïïíïî죣112222byaxïîïí죣2222byax££-££-bybaxaSuy ra elip nằm hoàn toàn trong hình chữ nhật mà ta gọi là hình chữ nhật cơ sởA1A2B1B2yxO4/ Tâm sai của elipĐịnh nghĩa: tâm sai của elip là tỷ sổ giữa tiêu cự và độ dài trục lớnKý hiệu: e Ta có:ace22=Nhận xét: 0< e <1ace=VD:Tìm độ dài các trục ,tiêu cự ,tiêu điểm, các đỉnh của các elip cho bởi phương trình saua / (E1) : 9x2 + 25y2 = 225Giải:(E1) : 9x2 + 25y2 = 225192522=+yxTa có:a2 = 25 c = 4b2 =9 b = 3c2 = a2 – b2 = 16 a = 5Độ dài trục lớn: 2a =10Độ dài trục nhỏ: 2b =6Tiêu cự : 2c = 8Tiêu điểm :F1(-4,0), F2(4,0)Các đỉnh:A1(-5,0), A2(5,0), B1(0,-3), B2(0,3) b/ (E2):11003622=+yxGiải:Ta có:a2 = 100 c = 8b2 =36 b = 6c2 = a2 – b2 = 64 a = 10Độ dài trục lớn: 2a =20Độ dài trục nhỏ: 2b =12Tiêu cự : 2c = 16 Tiêu điểm :F1(0,-8), F2(0,8)Các đỉnh:A1(0,-10), A2(0,10) B1(-6,0), B2(6,0)Ta có:MFMF21-< F1F2 = 2c< 2a