Bài giảng Hình học 10 Bài 3: Phương trình elip

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ELIPA. KHỞI ĐỘNGCho một sợi dây không co dãn có độ dài là 2a, (a > 0) có hai đầu được cột chặt vào hai cây đinh nhỏ, đóng vào 2 điểm nhỏ F1 và F2 . Khoảng cách F1F2 = 2c, (c > 0).Dùng bút viết kéo căng sợi dây để vạch lên đường cong (E) trên giấy.Hãy cho biết tổng khoảng cách của điểm M bất kỳ trên đường cong (E) đối với hai điểm F1 và F2?Hãy nhận xét về tính đối xứng của đường cong (E)?B. Nhận xét về đường cong (E)Tổng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (E) đến F1 và F2 luôn bằng chiều dài sợi dây là 2a (không đổi).F1M + F2M = 2a(E) nhận đường thẳng chứa F1F2 và đường trung trực của F1F2 làm trục đối xứng(E) nhận trung điểm của F1F2 làm tâm đối xứng.Ta gọi các đường cong (E) nói trên là các đường elip. Vậy đường elip là gì ?Những hình ảnh về đường Elip trong khoa học và đời sốngBài 3: Phương trình đường Elip 1 . CÁC ĐỊNH NGHĨACho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0)Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho F1M + F2M = 2aTrong đó a là hằng số cho trước lớn hơn cHai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip.Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.M  (E )  F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )°°F1F22cM 2 . Phương trình chính tắc của elipyxO°(- c ; 0 )( c ; 0 )( x ; y )Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, trục Oy là trung trực của F1F2 như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ F1 , F2 là Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 , F2 . Tiêu cự F1F2 = 2c như hình vẽ. M  (E)  F1M + F2M = 2a với a > c > 0F1 ( - c ; 0)F2 ( c ; 0)và M°°F1F2 °(E)2cxyF1F2O-ccM( x ; y )(E)°Khi đó người ta chứng minh được:°Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elipVí dụ:a, b, GHI NHỚĐịnh nghĩa : M  (E )  F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )Trong đó F1, F2 là hai tiêu điểm cố định, F1F2 = 2c là tiêu cự yPhương trình chính tắc của elip : Trong đó a > b > 0, c2 = a2 – b2 xF1F2O-ccM(E)°°Tiêu điểm F1 ( - c ; 0) F2 ( c ; 0) C. (E) đi qua một trong các điểm N1( 6 ; 0) , N2( 8 ; – 5) Cho (E):. Hãy chọn mệnh đề SAI :A. Tiêu cự là 6 và hai tiêu điểm F1 ( – 3 ; 0) , F2( 3 ; 0) B. (E) qua các điểm A1(– 5 ; 0) , A2(5 ; 0) , B1( 0 ; – 4) và B2(0 ; 4) Viết phương trình chính tắc của elip ?NHÓM 1+5: Có a = 6, c = 2 NHÓM 2+6: Có a = 7, c = 4NHÓM 3: Có a = 7, c = 6NHÓM 4: Có a = 7, c = 13/5  b2 = a2 – c2 = 36 – 4 = 32. Do đó pt (E1) là:  b2 = a2 – c2 = 49 – 16 = 33. Do đó pt (E2) là:  b2 = a2 – c2 = 49 – 36 = 13. Do đó pt (E3) là: b2 = a2 – c2 = 1056/25. Do đó pt (E4 ) là:Nối dòng ở cột 1 với dòng cột 2 để có khẳng định đúngCột 1Cột 2a = 5, c = 4?3. Hình dạng của elipxF1F2O– ccM( x0 ; y0 )°°°°M2( x0 ; - y0 )M1M3(- x0 ; - y0 )( -x0 ; y0 )A1A2yB1B2°°°°°a– a– bb1.Tính đối xứngXét elip (E) có pt chính tắc: Đường elip (E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng # (E) cắt trục hoành tại A1(– a ; 0) và A2( a ; 0). Ta có A1A2 = 2a # (E) cắt trục tung tại B1(0 ; – b) và B2 ( 0 ; b). Ta có B1B2 = 2b2. Đỉnh của elip, trục lớn trục nhỏTa gọi A1 , A2 , B1 , B2 là 4 đỉnh của elip (E). # Đoạn A1A2 là trục lớn của (E ) # Đoạn B1B2 là trục nhỏ của (E ) Ví dụ 4: Cho (E): x2 + 4y2 = 4. Hãy chọn mệnh đề đúng:A. Độ dài trục lớn là 4, độ dài trục nhỏ là 2B. Tọa độ các đỉnh của elip là (2;1), (2; -1), (-2 ; 1), (-2 ; -1)C. Tiêu điểm F1(-3;0) , F2 (3 ; 0), đỉnh A1(-2 ; 0), A2(2 ;0)D. Tiêu điểm F1 , F2 , đỉnh B1(-1 ; 0), B2(1 ;0)Ví dụ 5: Pt chính tắc của (E) có độ dài trục bé là 8, tiêu cự là 4 là: Tổng kếtyPhương trình chính tắc của elip : Trong đó a > b > 0, a > c> 0 , c2 = a2 – b2 xF1F2O-ccM(E)°°Tiêu điểm F1 ( - c ; 0) , F2 ( c ; 0) Tọa độ các đỉnh elip A1(– a ; 0) , A2 ( a ; 0) , B1 (0 ; – b) , B2(0 ; b)Trục lớn A1A2 = 2aTrục nhỏ B1B2 = 2bCác trục đối xứng : x’Ox , y’Oy Tâm đối xứng : gốc tọa độ O Bài 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của Elip có phương trình sau:Bài 2: Lập phương trình chính tắc của Elip biết, elip đi qua các điểm: M(0;2) và N(3;- 8/5)Độ dài trục lớn: 12, trục nhỏ: 6; F1 (-5;0), F2 (5;0)Tọa độ các đỉnh: A1 (-6;0),A2 (6;0),B1 (0;-3),B2 (0;3)Từ ph.trình chính tắc tổng quát của elíp: Thay tọa độ điểm M và N ta được kết quả