Bài giảng Giải tích II

GIẢI TÍCH 2ĐẠI HỌC SAO ĐỎBài giảng giải tích IIGiáo viên: Vũ Thị Thùy Khoa: Khoa học cơ bảnSố đơn vị học trình: 3 (45 tiết)Gồm: 3 bài kiểm tra định kìTài liệu bắt buộc:[1] Giáo trình Giải tích 2_ NXB Trường ĐHSĐ, năm 2010 Tài liệu tham khảo:[2] Nguyễn Đình Trí , Toán học cao cấp 2, NXB Giáo Dục, 2005[3] Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp 3, NXB Giáo Dục, 2005[4] Trần Bình, Giải tích II & III, NXB Khoa học và Kỹ thuật 2009 MÔN GIẢI TÍCH IIMÔN GIẢI TÍCH IIChương I1.1 Tích phân kép1.2 Tích phân đường2.1 Khái niệm mở đầu2.2 Phương trình vi phân cấp I2.3 Phương trình vi phân cấp IIChươngIIChươngIII3.1 Chuỗi số3.2 Chuỗi lũy thừaGIẢI TÍCH 2ĐẠI HỌC SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀTÍCH PHÂN ĐƯỜNGThS. VŨ THỊ THÙYTrường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉPCách tínha/ Nếu D xác định bởiGIẢI TÍCH 21/ Trong hệ tọa độ vuông gócyxODabcdTrường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉPCách tínhĐịnh lý Fubinib/ Nếu D xác định bởiabGIẢI TÍCH 2yxOGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉPc/ Nếu D xác định bởidcVí dụ 1:Tính , với D là miền phẳng xác định bởi-21OxyOxyGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉPLúc này, miền D có thể được biểu diễn lại làVí dụ 2Tính , với D là tam giác OAB trong đóGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉPCách 1( nhìn theo phương đứng )11thì lúc nàynên ta tách D thànhvàxyGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉPHay ta cóCách 2( nhìn theo phương ngang )11Lúc này, ta cóyxGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉP2/ Trong hệ tọa độ cựclà tọa độ cực của M vớiVí dụ 3Từ phương trìnhta tìm ngược lại miền DDo OxyGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉPNhư vậy,Ví dụ 4Tính Lưu ýTa áp dụng công thức này khi D có dạng hình tròn, haymột phần hình tròn, vớiOxyGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉPLúc này, ta cóDùng PP đổi biến:Oxy-22GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉPVí dụ 5Tính , với12Lúc này, miền D tương đương vớixyOGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN KÉPVí dụ 6Tính , vớiLúc này, ta có miền DOxyGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉPa/ Tính diện tích miền phẳngVí dụ 7Tính diện tích miền phẳng bị giới hạn bởiDùng pp tọa độ cực, ta cóChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGOxyGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎb/ Thể tích vật thể, với điều kiệnliên tục trên DHay cụ thể hơnXét vật thể + có hình chiếu vuông góc xuống bằng+ mặt trên là+ mặt dưới làChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉPGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉPLúc nàyVí dụ 8Tính thể tích vật thể bị giới hạn bởi+ mặt trên+ mặt dướiChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGOxyzGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎTÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1Cách tính: theo nguyên tắcViệc tính tích phân đường loại 1 được đưa về quá trìnhtính một tích phân xác định, theo biến số của pt đườngcong lấy tích phânLưu ýTích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng củađường cong lấy tích phânChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1Lưu ý: khi đưa tích phân đường về tích phân xác định thì cận dưới của tích phân xác định luôn bé hơn cận trêna/ Trường hợp (AB) có pt tham sốthìVí dụ 9Tính , với (AB) là đoạn thẳng nốivớiGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎ Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1Phương trình tham số của AB+ có VTCP+ qua A(1,2)là phương trìnhcó giới hạn tại 2 đầu mút A(1,2) và B(3,4)+ tại A(1,2)thì+ tại B(3,4)thìOxy1324GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1Như vậy,Ngoài ra, doSuy raGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎ Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1b/ Trường hợp (AB) có pt , khi đóc/ Trường hợp (AB) có pt thìGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎ Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1Ví dụ 10Tính , với (AB) là parabolTa cóvà lúc này, nênOxyGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎ Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1d/ Trường hợp (AB) có là đường cong trong không gian (Oxyz), và hàm số lấy tích phân là f(x,y,z) Giả sử (AB) có pt tham sốKhi đó,GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1Ví dụ 11Tính , với (AB) là đường cong có ptTrường ĐH SAO ĐỎ Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1Suy raGIẢI TÍCH 2GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNGTÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Tính chất: như tích phân đường loại 1Điểm khác biệt: phụ thuộc chiều lấy tích phânCách tínhXét GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2a/ Giả sử (AB) được xác định bởi pt Gọi là hoành độ điểm đầu của cung (AB)....cuốiKhi đóLưu ý: lúc này có thểhaynhưng takhông được đổi thứ tự giữa vàGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2b/ Giả sử (AB) được xác định bởi pt Gọi là tung độ điểm đầu của cung (AB)..cuối....Khi đóc/ Giả sử (AB) được xác định bởi pt tham số vàứng với điểm đầu của cung (AB)..cuối..GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Lúc này, Ví dụ 12Tính , với (L) là đường trònTa có pt tham số của (L) làDo đóGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2ĐỊNH LÝ GREENCho P(x,y) và Q(x,y) là những hàm có đạo hàm riêng cấp 1 l/tụctrên miền D có biên là đường cong kín (L), khi đótrong đó(*) lấy dấu “+” nếu chiều lấy tích phân trùng với chiều dương quy ướcGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2ĐỊNH NGHĨA CHIỀU DƯƠNG QUY ƯỚCXét D là miền phẳng có biên là đường cong kín (L). Lúc này,chiều dương quy ước trên (L) là chiều mà đi theo đó, miền D nằmbên tráiVí dụ 13DGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Lưu ýcác mệnh đề sau là tương đương nhau(1)thỏa(2), với (L) là đường cong kín bất kỳ nằm trong D(3)tồn tại hàm sốxác định trên D sao cho(4)không phụ thuộc vào đường cong nối A,BGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Ví dụ 14Tính , vớivà đồng thời (AB) không đi qua OTrước hết, ta xétvàGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Vì vậy, tích phân đã cho không phụ thuộc vào đường cong nối (AB)Cho nên,Cách 1:Nối A và B thành đoạn thẳng (AB)có pt, với, suy raCách 2:Nối A, B bằng đường gấp khúcnên12Oxy13OxyBA1321GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Trên ta có ptTrên ta có ptVí dụ 15Tính , với (L) là chu vi tam giác OAB, trong đó O(0,0), A(1,1), B(0,2)ngược chiều kim đồng hồCách 1:áp dụng định lý Green, ta xétOxy11AB2GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Lúc nàyvàcho nên ta nói P(x,y), Q(x,y) và các ĐHR cấp 1 đều liên tục trênDo đó, theo định lý Green ta cóCách 2:GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Ta cócó ptcó ptGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Ví dụ 16Tính , với (L) là nửa đường tròncùng chiều kim đồng hồCách 1:Tham số hóa cung tròn (L), vớiOxy-22GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Cách 2:Áp dụng định lý Green, trong đóGreen OxyGIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2Còn pt BASuy raGIẢI TÍCH 2ĐẠI HỌC SAO ĐỎChương II – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNThS. VŨ THỊ THÙY45PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Giải tích 2Một số phương trình vi phân cấp 1 thường gặpPhương trình biến số phân lyPhương trình đẳng cấp cấp mộtf(x)dx = g(y)dy (1.1)Tích phân hai vế:Suy ra: F(x) = G(y) + CĐặt Thay vào (1.2) ta có:Giải phương trình sauGiải:ĐặtTa có:Suy raClick to add Title2Ví dụ 1Cách giải phương trình cấp 1y’ + p(x)y = q(x) (1.3)Bước 2Bước 1Giải phương trình: y’ + p(x)y = 0có nghiệm tổng quát: Coi C=C(x), thay y, y’ vào (1.3) tìm C(x)Bước 3Kết luận nghiệmVí dụ 2: Giải phương trình2Đây là phương trình nào? Cách giải ???Phương trình BecnoulliCách giải: 1Chia cả hai vế cho yn ta được:2ĐặtTa có(1.5) trở thành3Tìm nghiệmVí dụ 3: Giải phương trìnhCách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho y2 ta được: Đặt z=y-1, phương trình (1.5) trở thành:Phương trình (1.6) là phương trình nào? Cách giải ???GIẢI TÍCH 2Trường ĐH SAO ĐỎChương II – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNHBảng tóm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + py’ + qy = 0 (2.1)Nghiệm của phương trình đặc trưngr2 + pr + q = 0Nghiệm của phương trình (2.1)k1 , k2 thực , k1 ≠ k2k1 = k2 = kk1 , k2 = α ± iβ ,α ,β thựcPhương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổiP,q là hằng sốy’’ + py’ + qy = f(x) (2.2)Cách giải:2Tìm nghiệm riêng của phương trình (2.2) là y* Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) là 13Nghiệm tổng quát của (2.2) lày=y*+ f(x) = eαx.Pn(x) với α là hằng số, Pn(x) là một đa thức bậc n.PTVTC2 có dạng y’’ + py’ + qy = eαx.Pn(x) (2.2) Nghiệm riêng của phương trình (2.2) có dạng: Y = e αx.Qn(x) (2.3) với Qn(x) là đa thức bậc nCác hệ số Qn(x) được xác định bằng cách lấy đạo hàm các cấp của Y thay vào phương trình đã cho rồi cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bội của x.Nghiệm riêng của phương trình (2.2) có dạng : Y = x. e αx.Qn(x)Nghiệm riêng của phương trình (2.2) có dạng : Y = x2. e αx.Qn(x)α2 + pα + q ≠ 0Ví dụ 4Giải các phương trình sau : 1. y’’ + y’ - 2y = 1 – x 2. y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 ) 3. y’’ -2y + y = x.ex1.Giải phương trình : y’’ + y’-2y = 1 – xGiải : Vế phải có dạng : f(x) = e 0x.P1(x) , α = 0, P1(x) = 1 - xPhương trình đặc trưng :r2 + r – 2 = 0  r = 1; r = -2Nghiệm tổng quát của phương trình y’’ + y’-2y = 0 là : y = C1ex + C2e- 2xVì α = 0 không là nghiệm phương trình đặc trưng vậy nghiệm riêng Y có dạng: Y = e 0x.P1(x) = P1(x)  y = Ax + B ( A, B là hằng số )Y’ = A , Y’’ = 0 . Thay vào phương trình đã cho ta được :Y’’ + Y’ – 2Y = A – 2(Ax + B) = -2Ax + A – 2B = 1 - xĐồng nhất hệ số ta được : Vậy :2. Giải phương trình :  y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 ) Giải : Vế phải có dạng : eαx.P1(x) , trong đó α = 1: P1(x) là đa thức bậc một.Phương trình đặc trưng : r2 - 4r + 3 = 0  r = 1 và r = 3 .Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất : y’’ – 4y’ + 3y = 0 là : y = C1ex + C2e3xVì α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng , ta tìm nghiệm riêng Y của phương trình đã cho dưới dạng : Y = ex. x.(Ax + B) = ex.(Ax2 + Bx)Do đó : Y’ = ex.(Ax2 + Bx) + ex.(2Ax + B) = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B] Y’’ = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B] + ex [2Ax2 + (B + 2A)] = ex [Ax2 + (B + 4A)x + 2B + 2A] Thế vào phương trình đã cho: ex [- 4Ax + 2A – 2B] = ex (x + 2)Vậy : Nghiệm tổng quát phải tìm là : 3.Giải phương trình :  y’’ -2y + y = x.ex Giải : Vế phải có dạng : eαx.P1(x) , trong đó α = 1, P1(x) = x là đa thức bậc một.Phương trình đặc trưng : r2 - 2r + 1 = 0  r = 1Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất : y’’ – 2y’ + y = 0 là : y = ex (C1+ C2x)Vì α = 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng , ta tìm nghiệm riêng Y của phương trình đã cho dưới dạng : Y = ex. x2.(Ax + B) = ex.(Ax3 + Bx2)Do đó : Y’ = ex. (Ax3 + Bx2) + ex. (3Ax2 + 2Bx) = ex [Ax3 + (B + 3A)x2 + 2Bx] Y’’ = ex [Ax3 + (B + 3A)x2 + 2Bx] + ex [3Ax2 + 2(B + 3A)x + 2B] = ex [Ax3 + (B + 6A)x2 + 2(2B + 3A)x + 2B] Thế vào ta đc phương trình : ex [6Ax + 2B] = ex xNghiệm tổng quát phải tìm là : f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx ,với Pm(x), Pn(x) lần lượt là đa thức bậc m, n. β là hằng số y’’ + py’ + qy = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx± iβ không là nghiệm phương trình đặc trưng (2.1) thì nghiệm riêng của (2.2) có dạng : Y= Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx với Q1(x), R1(x)là những đa thức bậc l = max(m,n)± iβ là nghiệm phương trình đặc trưng (2.1) thì nghiệm riêng của (2.2) có dạng :Y = x[Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx]với Q1(x), R1(x)là những đa thức bậc l = max(m,n)Giải các phương trình sau: 1. y’’ - 3y’ + 2y = 2sinx 2. y’’ + y = x.cosxVí dụ 51. Giải phương trình :  y’’ - 3y’ + 2y = 2sinxPhương trình đặc trưng : r2 - 3r +2 = 0  r = 1, r = 2 Nghiệm tổng quát của phương trình là : y’’ - 3y’ + 2y = 0 là : y = C1ex + C2e2x Phương trình vi phân đã cho có dạng : P0(x)sinβx với P0(x) = 2, β = 1Do ±iβ = ±i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình đã cho có dạng : Y = A.cosx + B.sinx Y’ = - Asinx + Bcosx Y’’= -Acosx - BsinxThế vào phương trình ta được : (A – 3B)cosx + (3A + B)sinx = 2 sinxNghiệm của phương trình đã cho là : 2 . Giải phương trình sau :y’’ + y = x.cosxGiải : Phương trình đặc trưng : r2 + 1 = 0  r = ±i nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là : y = C1cosx + C2sinxVế phải của phương trình đã cho có dạng P1(x)cosβx , với P1(x) = x , β = 1Vì : ±iβ = ±i là nghiệm của phương trình đặc trưng, ta tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng : Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx] = [(Ax2 + Bx)cosx + (Cx2 + Dx)sinx]Do đó :Y’ = [Cx2 + (D + 2A)x + B]cosx + [-Ax2 + (2C – B)x + D]sinxY’’ = [-Ax2 + (4C – B)x + 2D + A]cosx + [-Cx2 – (D + 4A)x + 2C -2B]sinxThế vào phương trình đã cho ta được: (4C + 2D + 2A)cosx + (-4Ax + 2C – 2B)sinx = xcosxVậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : Bảng tóm tắt về dạng của nghiệm riêng của phương trình (2.2) theo dạng của vế phải của nóDạng của vế phải f(x)Dạng của nghiệm riêng yeαx.Pn(x) e αx.Qn(x). Nếu α không là nghiệm phương trình (2.1)x. e αx.Qn(x). Nếu α là nghiệm đơn của phương trình (2.1)x2. e αx.Qn(x). Nếu α là nghiệm kép của phương trình (2.1)Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx a) Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx , l = max(m,n) .Nếu ± iβ không là nghiệm phương trình đặc trưng (2.1).b) x[Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx] , l = max(m,n) .Nếu ± iβ không là nghiệm phương trình đặc trưng (2.1).GIẢI TÍCH 2ĐẠI HỌC SAO ĐỎChương III – CHUỖIThS. VŨ THỊ THÙY Chuçi sè d­¬ngTiªu chuÈn so s¸nha. §L1 : Cho hai chuçi sè d­¬ng nÕu * héi tô th× héi tô * NÕu ph©n kú th× ph©n kìb. §L 2: Cho hai chuçi sè d­¬ng thì hai chuçi sè Êy ®ång thêi héi tô hay ph©n kì.NÕuQuy t¾c kh¶o s¸t tÝnh héi tô cña chuçi sè 1. Quy t¾c DAlembertCho* chuçi sè héi tô khi d 1(d = 1 thì chưa kết luận gì về chuỗi số)dương. Nếu2. Quy t¾c Cauchy Cho dương. NÕu * chuçi sè héi tô khi c 1 (c = 1 th× ch­a kÕt luËn g× vÒ chuçi sè) 3. §Þnh lÝ Leibnitz Cho chuçi sè ®an dÊuNÕuvµ Thì chuçi sè ®an dÊu héi tô vµ cã tæng nhá h¬n u1Ví dụ 1Cho chuỗi số1. Em hãy cho biết chuỗi số này có gì đặc biệt 2. Em dùng tiêu chuẩn gì để xét sự hội tụ của chuỗi này Ví dụ 2Hãy xét sự hội tụ của chuỗi số ?Giảiđơn điệu giảmVậy chuỗi số hội tụQuy t¾c t×m b¸n kÝnh héi tô cña chuçi luü thõaB­íc 1: Tìm trong chuçitÝnhB­íc 2: TÝnhhayB­íc 3: XÐt sù héi tô cña chuçi luüthõa t¹i x = R vµ x = - RB­íc 4: KÕt luËn miÒn héi tô cña Chuçi.Ví dụ 3: Tìm khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa Em hãy tìm an1Em hãy tìm R3Click to add Title2Em dùng tiêu chuẩn gì tìm R 2GiảiTiêu chuẩn D’AlembertVậy nghe của quý thầy cô!Chân thành cảm ơn sự lắng