Bài giảng Giải tích 11 Bài 1: Dãy số có giới hạn 0

Chương IV: Giới hạna. giới hạn của dãy sốBài 1 Dãy số có giới hạn 0Kiểm tra bài cũ:Em hãy nhắc lại định nghĩa về dãy sốMột hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:Hãy xác định các số hạng u1; u2, u3, u10, u11, u23, u24 của dãy số trên?)Ví dụ: Cho dãy số (un ) với (n1u nn-=Hãy biểu diễn dãy số trên dưới dạng khai triển?Biểu diễn các số hạng của dãy số (un) trên trục số ta thấy :Khi n tăng dần thì khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 thay đổi như thế nào ?“Khi n tăng thì các điểm biểu diễn chụm lại quanh điểm 0”, nghĩa là “khoảng cách |un| từ điểm un đến điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn”.525150232425101112|un|21n Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn kể từ số hạng thứ mấy trở đi ?Nhìn vào bảng trên hãy nhận xét xem: Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn kể từ số hạng thứ mấy trở đi ?Mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ 11 trở đi.Mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ 24 trở đi.Ta có bảng các giá trị tương ứng Nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ta nói: dãy số có giới hạn là 05251502324251011121|un|21n124 Với dãy số trên ta thấy, mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ n+1 trở đi. Như vậy:với mọi1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0: Dãy số (un ) có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. a) Định nghĩac) Nhận xét:* Dãy số không đổi (un), với un = 0 có giới hạn 0. Ví dụ:Vì :mà2). Một số dãy số có giới hạn 0a) Bài toán 1: Cho hai dãy số (un) và (vn) nếu với mọi n và lim vn = 0. Chứng minh rằng lim un = 0b) Định lí 1:Cho hai dãy số (un) và (vn) nếu Giải:= 0dãy số có giới hạn 0Ta có<Nên theo định lí 1 ta có:Giải:Ta cóVới mọi n. Nên theo định lí 1 ta có:0.=Ê1kn1kn1n1Mà lim = n1lim = kndãy số có giới hạn 00 d) Định lý 2: (Thừa nhận ) Nếu thì lim qn = 0 áp dụng: Tìm giới hạn của các dãy số sau: a)b) VD: Hãy điền vào chỗ trống để được mệnh đề đúng?====001lim2ndãy số có giới hạn 0Giải:0Theo định lí 1 ta có:0. VD: Chứng minh rằng: =Ê34nncospVì3lim4nncosp=dãy số có giới hạn 0Nếu thì lim qn = 0 Các mệnh đề sau đúng hay sai?ĐúngĐúngSaiSaidãy số có giới hạn 0Nếu thì lim qn = 0 Bài học cần nắm được1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 03) Định lí 1:Bài 2: Chứng minh rằng hai dãy số (un ) và (vn ) với:Có giới hạn 0Bài 3: Chứng minh rằng các dãy số sau đều có giới hạn 0Bài 4: Cho dãy số (un ) với a) Chứng minh rằng với mọi n b) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n c) Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn 0