Bài giảng Đại số lớp 11: Hoán vị - Chỉnh hợp - tổ hợp

Kính chào !CHƯƠNG IV :TIẾT 75 – 76$ 1 : HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Quy tắc cộng và quy tắc nhân :a) Quy tắc cộng : Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 ; m2 cách chọn đối tượng x2 ; mn cách chọn đối tượng xn và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng với bất kỳ cách chọn đốitượng xj nào thì có m1 + m2 + + mn cách chọn một trong các đối tượng đã cho .* Ví dụ : Từ các chữ số 1; 2 ; 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau ? Giải : . Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 3 số có 1 chữ so á 3 cách . Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 6 số có 2 chữ số khác nhau  6 cách . Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 6 số có 3 chữ số khác nhau  6 cách . Vậy có tất cả : 3 + 6 + 6 = 15 cách chọn  15 sốb) Quy tắc nhân :Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp ;Ùbước 1 có m1 cách ; bước 2 có m2 cách ; bước n có mn cách , thì phép chọn đó được thực hiện theo m1.m2mn cách khác nhau .* Ví dụ : Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu . Hỏi cóbao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng , bạc , đồng cho 3 đội nhất , nhì , ba biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đạt huy chương.Giải : Mỗi đội đều có thể nhận huy chương  có 18 cách trao huy chương vàng . Sau đó thì mỗi đội trong 17đội còn lại nhận huy chương bạc  có 17 cách trao huy chương bạc . Sau đó thì mỗi đội trong 16 đội còn lại có thể nhận huy chương đồng  có 16 cách trao huy chương đồng .. Vậy có : 18. 17 . 16 = 4896 cách trao giải.2. Hoán vị :1) Định nghĩa : Cho tập A , gồm n phần tử ( n ≥ 1) .Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là 1 hoán vị của n phần tử .* Ví dụ : . Tập A = { a ; b } có 2 hoán vị của 2 phần tử là : ab ; ba. . B = { a ; b ; c } có các hoán vị là : abc ; acb ; bac ; bca ; cab ; cba2) Số hoán vị của n phần tử :* Định lý : Pn = n (n – 1) (n – 2) 3 . 2 . 1 = n! (Cm s.g.k) được gọi hoán vị của n phần tử .* Ví dụ : Cho A = {1;2;3;4} số hoán vị là P4 = 4! = 24 3. Chỉnh hợp :a) Định nghĩa : Cho tập A , gồm n phần tử ( n ≥ 1) .Mỗi bộ gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.* Ví dụ : . Cho A = { a ; b ; c } các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử là : (a,b) ; (a,c) ; (b,c) ; (b,a) ; (c,a) ; (c,b) : có 6 chỉnh hợp. . Lập tất cả các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng là lẻ . Giải :Thiết lập sự cấu trúc : 3Cho số 13 5Cho số 15 7Cho số 17 9Cho số 19Vậy có tất cả 4 số lẻ chữ số 1 đầuTương tự với các chữ số : 3 ; 5 ; 7 ; 9 : 1Cho số 31 5Cho số 35 7Cho số 37 9Cho số 39Vậy có tất cả 4 số lẻ chữ số 3 đầuVậy có tất cả các số là : 4 . 5 = 20 số lẻ phải tìm.b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :* Ví dụ 1: Tính chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử : a ; b ; c Giải :* Định lý := n (n – 1) (n – 2) (n – k + 1) Cm s.g.k * Ví dụ 2 : Tính chỉnh hợp chập 3 của 5 số :1,2,3,4,5 = 5 .(5 – 1) (5 – 2) (5 – 3 + 1) = 5.4.3 = 60= 3 .(3 – 2 + 1) = 3.2 = 6 * Ví dụ 3 : Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp thứ tự 5 cầu thủ để đá bóng luân lưu 11 m , biết rằng cả 11 cầuthủ (cả gôn) đều có khả năng như nhau . Giải :Mỗi cách chọn và sắp thứ tự là 1 chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử , do đó số khả năng chọn là : = 11 .(10).(9).(8).(7) = = 55440* Chú ý : * Biểu thức tính chỉnh hợp : * Quy ước :4. Tổ hợp :a) Định nghĩa : Cho tập A , gồm n phần tử ( n ≥ 1) .Mỗi tập con gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử của tập hợp A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử dã cho .b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :* Định lý :* Ví dụ 1 :Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi . Mỗi phòng cần 2 giám khảo . Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thành đôi để hỏi thi* Ví dụ 2 :Có 20 đội bóng đá tham gia đấu tính điểm , thể lệ cuộc thi là bất kỳ 2 đội nào cũng chỉ gặp nhau 1 lần . Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu ? Số trận đấu : Ví dụ 2 : Có bao nhiêu đường chéo trong 1 hình thập giác lồi .Một thập giác lồi có 10 đỉnh .Qua mỗi cặp đỉnh có 1 đường thẳng duy nhất ; mỗi cặp điểm là 1 đường thẳnglà đường chéo hoặc 1 cạnh . Số đường chéo là : c) Các hệ thức giữa các số Cnk :Cm s.g.kTIẾT 77 – 78BÀI TẬP:Bài 1: Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số Số được lập có dạng : a,b,c,d được chọn : 4 trường hợp trong các số 1,5,6,7 Vậy có : 44 = 256 số phải tìm .2) Bài 2:Từ các chữ số N = { 0,1,2,3,4,5,6 } .Có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên chẵn có 3 chữ số Số dược lập có dạng : với a  0 và c chữ số chẵn .3) Bài 3: c được chọn {2 , 4, 6, 0} : có 4 cách a được chọn N\{0} : có 6 cách b được chọn trong N : có 7 cách  Tổng số được lập : 4.6.7 = 168 số chẵn Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả 2 chữ số đều chẵn N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ; Số phải tìm có dạng : ( trong dó a , b đều là chữ số chẵn )a được chọn : {2,4,6,8} có 4 cách chọn .b được chọn : {1,2,4,6,8} có 5 cách chọn  Vậy số có 2 chữ số chẵn là : 4.5 = 20 số 4) Bài 4:Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau . a = e ≠ 0 có 9 cách chọn đồng thời 2 chữ số .Số phải lập có dạng : trong đó : b = d có10 cách chọn cùng 2 chữ số . c có10 cách chọn bất cứ số nào .  có 9.10.10 = 900} 5) Bài 5:Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5 .Số lập có dạng : trong đó f chọn : { 0 ; 5} có 2 cách  Tổng số phải tìm là : 2.9.10.10.10.10 = 180 000 sốa  0 có 9 cách chọn ; b,c,d,e : mỗi chữ có 10 cách chọn 6) Bài 6:Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch , 3 điệu múa và 6 bài hát . Tại hội diễn mỗi đội văn nghệ chỉ được trình diễn 1 vở kịch , 1 điệu múa và 1 bài hát . Hỏi đội vănnghệ nói trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn ; biết rằng chất lượng các vở kịch , các điệu múa , các bài hát là như nhau . Chọn kịch , múa , hát mỗi kiểu 1 tiết mục 2 vở kịch có 2 cách chọn ; 3 điệu múa có 3 cách chọn ; 6 bài hát có 6 cách chọn .  Vậy có : 2.3.6 = 36 cách chọn.7) Bài 7:Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường . Từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường . Từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường , Từ thành phố Cđến thành phố D có 3 con đường . Không có con đường nào nối từ thành phố B với thành phố C . Hỏi có bao nhiêu con đường từ A đến D.Từ A đến D qua B có 3.2 = 6 đườngABC DTừ A đến D qua C có 2.3 = 6 đường Vậy từ A đến D có tất cả : 6 + 6 = 12 con đường 8) Bài 8Tính các số : P4 ; P6 ; P7 : A73P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 ; P6 = 6 ! = 1.2.3.4.5.6 = 720 9) Bài 9:Giản ước các biểu thức . 10) Bài 10:Giải phương trình : ĐK : m  1  0  m  1 Giải phương trình : ĐK :; x  ZThế x = 1 ; x = 2 ; x = 3 vào phương trình : * x = 1   3 = 3 (N) * x = 2   6 = 6 (N)* x = 3  18 = 6 (L)* Vậy nghiệm : x = 1 ; x = 211) Bài 13:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác không , biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 8 .Số phải tìm có dạng :N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} với a + b + c = 8 và a  b  c  0Với a = 1  b = 2 ; c = 5 a = 1  b = 3 ; c = 4 có 2 trường hợp xảy ra với a,b,c hoán vị nên có : 2.P3 = 12 số 12) Bài 14 b : Chứng minh rằng : 13 ) Bài 15:Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế thành 1 dãy . A B C D ESắp xếp ghế :là 1 hoán vị P5 = 120 cách14 ) Bài 17:Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho : a) 1 người nhận được 1 đồ vật , còn 2 người kia mỗi người nhận được 2 đồ vật b) mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật .Có 5 đồ vật ; gọi 3 người thứ tự là : A , B , C Giải :a) A nhận 1 đồ vật trong 5 đồ  có C51 cách B nhận được 2 đồ vật trong 4 đồ còn lại  có C42 cách C nhận được 2 đồ vật trong 3 đồ còn lại  có C32 cách Vậy có : C51 .C42 .C32 = 30 cách Mà B,C có thể nhận thay như A  có tất cả: 30 +30 +30 = 90 cáchb) Có các trường hợp xảy ra :A nhận 1 đồ vật ; B nhận 2 đồ ; C nhận 2 đồ  có C51.C42.C32 = 30 và A,B,C luân phiên cho nhau  có 3.30 = 90 cách A nhận 1 đồ ; B nhận 3 đồ , C nhận 1 đồ  có C51 C43 .C31 = 20 cách và A,B,C luân phiên nhau  có 3.20 = 60 cách Vậy tổng số cách là : 90 + 60 = 150 cách .$ 2 : CÔNG THỨC NHỊ THỨC NƯUTƠNCông thức nhị thức Nưutơn : (a + b)n = Cn0 an + Cn1 a n-1 b + Cn2 an-2 b 2 + . . . + + Cnk a n - k b k + + Cnn b n Ký hiệu :Ví dụ :Tính (3x – 4)5 = C50(3x)5 = 243 x5 – 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024 .+ C51(3x) 4(-4)+ C52(3x)3(-4)2+ C53(3x)2(-4)3 + C54(3x)(-4)4+ C55(3x)0 (-4)52. Các tính chất của công thức nhị thức Nưutơn :1). Số các số hạng của công thức bằng n + 1 2). Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức : (n – k) + k = n 3). Số hạng tổng quát có dạng : 4). Các hệ số nhị thức cách đều 2 số hạng đầu và cuốibằng nhau : Cnk = Cnn – k 5). Có thể viết : 6). 2n = (1 + 1)n =Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnk + + Cnn 7). 0 = (1-1)n = Cn0 - Cn1 + Cn2 - + (-1)kCnk + + (-1)kCnn 3. Tam giác Pascan :( Pascal )( Có thể sắp xếp các hệ số của (a + b) n thành 1 tam giác )n = 0 các hệ số là : 1 C00 1 n = 1 các hệ số là : 1 C10 1 1 C11 1 n = 2 các hệ số là : 1 C20 1 2 C21 2 1 C22 1 n = 3 các hệ số là : 1 C30 1 3 C31 3 3 C32 3 1 C33 1 n = 4 các hệ số là : 1 C40 1 4 C41 4 6 C42 6 4 C43 4 1 C44 1 n = 5 các hệ số là : 1 C50 1 5 C51 5 10 C52 10 10 C53 10 5 C54 5 1 C55 1 n = 6  : + =+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=1 6+= 15+= 20+= 15+= 6 1..  : += 21+= 35Ví dụ := 32x5 + 80 x4 + 80 x3 + 40 x2 + 10 x + 1 Khai triển . a) (2x + 1) 5 = C50 (2x)5 + C51 (2x)4+ C52 (2x)3+ C53 (2x)2+ C54 (2x)+ C55b) Tính tổng sau : Dùng (1 + x)5 = C50 + C51 x + C52 x2 + C53 x3 + C54 x4 + C55 x5 Thay x = 2  (1 + 2)5 = 35 = 243 TIẾT 82 – 83ÔN TẬP CHƯƠNG IVVấn đề tổ hợp 2) Vận dụng công thức nhị thức Nưutơn .3) Giải các bài tập .1. Giản ước biểu thức . 2) Giải bất phương trình : (nN*) ĐK : n  1  0  n  1 So đk :  n = 3 ; n = 4 ; n = 5 3) Giải phương trình : ĐK : n  k  0  0  k  n ; n  N4) Chứng minh : Khai triển (a + b)n = Cn0 an + Cn1 an - 1b + Cnn - 2 ann - 2 b2 + + Cnn bnCho a = 1 ; b = 11  Cn1 +Cn2  + (1) p CnpMà : Cn – 1p = Cnp+1  Cn1p+1  Cn1p+1 =  Cnp+2 + Cn1p+2 + Cn1p+2 = Cnp+3 + Cn1p+3  (1)np.Cn1p2 = (1)np .Cnn1 + (1)np+1.Cn1n1Cn1p = Cnp+1  Cnp+2 + ..+ (1)np. Cnn1 + (1)np+1. Cnn (1  1)n = 1 Cn1 + Cn2  +(1)n Cnn = (1)p .(Cnp + 1  Cnp + 2 +(1)n – p + 1 Cnn ) (1)np+1.Cn1n1 = (1)np+1.Cnn -  (1)p . Cn1p = (1)p . (Cnp+1  Cnp+2 + .+ (1)np+1. Cnn)5) Tìm các số âm của dãy : {xn} = xn = Mà xn < 0  4 n2 + 28 n  95 < 0 n N*  n = 1 ; n = 2  19/2 < n < 5/2+) n = 1  x =  63/ 4+) n = 2  x = 23/8 6)Một da giác lồi n cạnh (n  4) có bao nhiêu đường chéo ?Cứ qua 2 điểm cho ta 1 đường (cả đường chéo và các cạnh) .  Cn2 = n (n  1) / 2 đường .Đa giác có n cạnh  có n cạnh Vậy số đường chéo là : Cn 2  n = n (n  3) / 2 7)Cứ 3 đỉnh trên 3 cạnh cho 1 tam giác AB có n điểm  có n cách lấy ; BC có m điểm  có m cách lấy ; CA có k điểm  có k cách lấy . Vậy tổng số cách lấy là : m.n.k tam giác .Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy n điểm , trên cạnh BC lấy m điểm và trên cạnh CA lấy k điểm . Hỏi có bao nhiêu tam giác với đỉnh là các điểm đó .8) Một chi đoàn thanh niên có 50 đoàn viên . Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 đoàn viên phụ trách 3 nhóm thiếu nhi . Là 1 chỉnh hợp chập 3 của 50 A503 = 48.49.50 = 117 600 cách9)a) 3 con ngựa về nhất , nhì , ba là 1 chỉnh hợp chập 3 của 12  A123 = 1320 khả năng .Trong một cuộc đua ngựa có 12 con ngựa cùng xuất phát . Hỏi có bao nhiêu khả năng xếp loại : a) 3 con ngựa về nhất , nhì , ba ? b) 3 con ngựa về đích đầu tiên .b) 3 con ngựa về đích đầu tiên là 1 tổ hợp chập 3 của 12  C123 = 220 khả năng 10)Trong khai triển. Hệ số các số hạng thứ 3lớn hơn hệ số thứ 2 là 35 . Tính số hạng không phụ thuộc vào x . hệ số số hạng thứ 3 và thứ 1 theo bài ra có : Cn2  Cn1 = 35  n2  3n  70 = 0  n = 10 ; n = 7 (L) Với n = 10 . Tính số hạng không chứa x . Số hạng tổng quát : Để số đó không chứa x  10  2p = 0  p = 5  C105 = 252 Kính chào ! Chúc thắng lợi !