Bài giảng Đại số giải tích 11 bài 2: Dãy số

DÃY SỐ §2. Cho hàm số f(n) = n2 . Hãy điền vào các ô trống trong bảng sau đây :n12345f(n)Như vậy :Với nN* = {1, 2, 3, 4, 5, }Ta có f(n)  {12, 22, 32, 42, 52 , }I. ĐỊNH NGHĨA1. Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu : Người ta thường viết u(n) = un Dạng khai triển của dãy số trên là u1, u2, u3, , un, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số. un được gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Dãy số trên được viết tắt là (un).Ví dụa) Dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, 9, 11, có số hạng đầu u1=1, số hạng tổng quát un=2n-1. b) Dãy các số 12, 22, 32, 42, có số hạng đầu u1 = 12, số hạng tổng quát un = n2.2. Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, , m} với mN* được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3, , um, trong đó u1 là sô hạng đầu, um là số hạng cuối.Ví dụa) -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có u1 = -5, u7 = 13.b) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 là dãy số hữu hạn có u1 = 1/2, u5 = 1/32.II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quátVí dụ 1. Cho dãy số (un) vớiViết 3 số hạng đầu tiên của dãy số trên.GiảiTa có II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quátVí dụ 2. Cho dãy số (un) vớiViết dạng khai triển của dãy số trên.GiảiTa có Do đó dạng khai triển của dãy số trên là 2. Dãy số cho bằng cách mô tảVí dụ. Cho dãy số (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số  với sai số tuyệt đối 10-n. Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên.Giải Vì  = 3, 141 592 653 589 nên u1 = 3,1 u2 = 3,14 u3 = 3, 141 u4 = 3,1415 Ví dụ 1. Cho dãy số (un) được xác định bởi : u1 = 1 và un = 2un-1 + 1 với mọi n ≥ 2Viết 3 số hạng đầu tiên của dãy số trên.GiảiTa có u1 = 1 u2 = 2u1 + 1 = 2.1 + 1 = 3 u3 = 2u2 + 1 = 2.3 + 1 = 73. Dãy số cho bằng công thức truy hồiVí dụ 2. Cho dãy số (un) được xác định bởi : u1 = u2 = 1 và un = un-1 + un-2 với n≥3 Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số trên.GiảiTa có u1 = 1, u2 = 1 u3 = u2 + u1 = 1 + 1 = 2 u4 = u3 + u2 = 2 + 1 = 3 u5 = u4 + u 3 = 3 + 2 = 5(Dãy số Phi – bô – na - xi)3. Dãy số cho bằng công thức truy hồiĐiền số thích hợp vào khoảng trống () :1. Cho dãy số (un) được xác định bởi Khi đó số hạng đầu tiên của dãy số là u1=.. ; số hạng thứ 4 của dãy số là u4=..2. Nếu dãy số (un) có số hạng thứ n là un = 2n + 3 thì số hạng thứ n + 1 là un+1 = 3. Nếu dãy số (un) có un+1 = 3un -2 thì un+2 - 3un+1 = ...........4. Nếu dãy số (un) được cho bởi công thức un= cos(n) thì tổng của hai số hạng liên tiếp của dãy số bằng PHIẾU HỌC TẬP SỐCho các dãy số sau :a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, , 2n, 2(n+1), (Dãy số tăng)b) 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, , 1-n, 1-(n+1), (Dãy số giảm)1. Dãy số tăng, dãy số giảmĐịnh nghĩa 1 Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n  N*. Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 um với mọi n > m.b) Nếu u1 > u2 thì dãy số (un) giảm.c) Nếu un > 0 và với mọi nN* thì dãy số (un) tăng.Trả lời phiếu học tập số 1 a) Đúng b) Sai c) ĐúngPhương pháp xét tính tăng giảm của dãy sốPhương pháp 1Xét dấu của hiệu H = un+1 – un với mọi n  N* Nếu H > 0 thì dãy số tăng. Nếu H 0 với mọi n  N* thì lập tỉ số rồi so sánh với 1. Nếu với mọi n  N* thì dãy số giảm. Nếu với mọi n  N* thì dãy số tăng.Ví dụ. Xét tính tăng, giảm của dãy số un = 2n – 1.GiảiCách 1. Với mọi nN*, ta có H = un+1 – un = [2(n + 1) – 1] – (2n - 1) = 2 > 0Do đó un+1 > un. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.Cách 2. Vì un > 0 với mọi n  N* nên ta xét tỉ số Ta cóVậy dãy số (un) là dãy số tăng. Chú ý Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Ví dụ. Dãy số (un) với un = (-1)n, tức là dãy số -1, 1, -1, 1, không tăng cũng không giảm.Câu hỏi 1. Dãy số (un) với A. Là dãy số tăng.B. Là dãy số giảm.C. Là dãy số không tăng cũng không giảm.Câu hỏi 2. Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 2 và un = un-1 + 3.A. Dãy số (un) là dãy số tăng.B. Dãy số (un) là dãy số giảm.PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2Trả lời phiếu học tập số 2Câu 2. ATa có un = un-1 + 3 nên un+1 = un + 3. Suy ra un+1 – un = 3 > 0Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.Câu 1. BVì nên (un) là dãy số giảm.Cho các dãy số sau :a) -1, -2, -3, -4, -5, , -n, -(n+1), (Dãy số bị chặn trên bởi số -1 )b) 3, 6, 9, 12, 15, , 3n, 3(n+1), (Dãy số bị chặn dưới bởi số 3)c) -1, 1, -1, 1, -1, , (-1)n, (-1)n+1, (Dãy số bị chặn )2. Dãy số bị chặnĐịnh nghĩa 2 Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao choun ≤ M, với mọi n  N*. Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao choun ≥ m, với mọi n  N*. Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số M, m sao chom ≤ un ≤ M, với mọi n  N*. Cho dãy số (un). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?a) Nếu dãy số (un) bị chặn trên bởi số M thì cũng bị chặn trên bởi số M + 1.b) Nếu dãy số (un) bị chặn dưới vàthì dãy số bị chặn trên.c) Nếu dãy số (un) bị chặn thì dãy số (- un) cũng bị chặn.PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3Trả lời phiếu học tập số 3a) Đúngb) ĐúngVì dãy số (un) bị chặn dưới nên tồn tại một số m sao cho un ≥ m, với mọi nN*. Do un > 0 với mọi nN* nên Vậy dãy số bị chặn trên. c) Đúng. Vì dãy số (un) bị chặn nên tồn tại các số M, m sao cho m ≤ un ≤ M, với mọi nN*. Do đó –M ≤ - un ≤ -m. Vậy dãy số (- un) bị chặn.Ví dụ 1. Chứng minh dãy số (un) với un = 2n2 – 1 bị chặn dưới.GiảiVới mọi n  N* , tức n ≥ 1 ta có un = 2n2 -1 ≥ 2.12 – 1 = 1.Vậy dãy số (un ) bị chặn dưới bởi 1. Chú ý. Dãy số (un) với un = 2n2 -1 không bị chặn trên.Thật vậy, nếu (un) bị chặn trên bởi số M thì với mọi nN* ta có un = 2n2 -1≤ M,hay (vô lí)Ví dụ 2. Chứng minh dãy số (un) với bị chặn.Giải Vì nN* nên n≥1. Do đó Suy ra hay Mặt khác, Do đó hay Như vậy, ta có Vậy dãy số (un) bị chặn.PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4 Trả lời phiếu học tập số 4Câu hỏi 1. CTa cóCâu hỏi 2. II và IIIDãy số (un) với un = n là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên.Dãy số (un) với un =1/ n là dãy số bị chặn trên bởi số 1.Dãy số (un) với un =1 - n2 là dãy số bị chặn trên bởi số 0.