Bài giảng Đại số 11: Phương pháp qui nạp toán học

Chµo mõngCác thầy cô giáo đến thăm lớp và dự giờLớp 11B1DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 11§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌCChương III§ 2: d·y sè§ 3: cÊp sè céng§ 4: cÊp sè nh©nH§1:Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n):”3n n” víi n N* a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?b. Với mọi n N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?Trả lời: P(n) Q(n) b. Với mọi n N* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn.n123451632?n28321454n?n+10012345392781243101102103104105 ViÖc chøng tá cho Q(n) ®óng víi mäi sè tù nhiªn n  N* b»ng c¸ch thö víi 1 sè gi¸ trÞ cña n“cho dï lµm ®­îc víi sè l­îng lín” còng kh«ng thÓ ®­îc coi lµ CM h¬n n÷a tËp sè tù nhiªn lµ v« h¹n nªn viÖc thö lµ kh«ng thÓ thùc hiÖn ®­îc.Vì vậy chúng ta cần có một phương pháp cụ thể để chứng minh những mệnh đề đó. Một phương pháp chứng minh hiệu quả đó là phương pháp qui nạp toán học. Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC1. Phương pháp qui nạp toán học§Ó chøng minh nh÷ng mÖnh ®Ò liªn quan ®Õn sè tù nhiªn nN* lµ ®óng víi mäi n ta lµm nh­ sau:B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1B2: .Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN) .Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1 . KL mệnh đề đúng với mọi nN*.Thí dụ 1: (HD3) Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có: Lời giải:+) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng.+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN) Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:Thật vậy:Vậy với mọi nN*, ta có: Phương pháp qui nạp .ĐÓ chøng minh những mÖnh ®Ò là đúng với sè tù nhiªn nN*.B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1B2: .Giả sử mệnh đề đúng với n = k(Giả thiết qui nạp-GTQN)Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1 . KL mệnh đề đúng với mọi nN*.Thí dụ 2:Xét mệnh đề chứa biến Q(n): “ 3n > 3n + 1” víi n  N*a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì Q(n) đúng hay sai?b. Với mọi n  N* thì Q(n) đúng hay sai?Trả lời:Q(n)b. Với mọi n  N*, Q(n) sai.47392781243101316c. Dù ®o¸nc. Dự đoán kết quả tổng quát của Q(n)n?3n+1123453n§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC1. Phương pháp qui nạp toán học Chó ý: §Ó chøng minh mÖnh ®Ò lµ ®óng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ p ( p lµ mét sè tù nhiªn) thì : B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = pB2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ p (Giả thiết qui nạp - GTQN)Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n= k+12. Ví dụ áp dụng:HOẠT ĐỘNG NHÓMNhóm 1: Nhóm 2: Nhóm 3: CMR:n  N*cã 2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1)CMR:n  N*cã un = n3 – n chia hÕt cho 3 (2)Giaûi: * Vôùi n =1, ta coù VT=VP = 2. Vaâïy (1) ñuùng vôùi n=1. * Giaû söû (1) ñuùng vôùi n = k ≥ 1, töùc laø 2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k = (2) (GT quy naïp) * Ta phaûi cmr (1) cuõng ñuùng vôùi n = k +1, töùc laø 2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k + 2(k +1) = (3) Thaät vaäy, töø (2) ta coù VT(3) = 2+ 4+ 6 +. . .+ 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k +1) = (k+1)(k+2)=VP(3)Vaäy heä thöùc (1) ñuùng vôùi moïi soá n  N*.k(k+1)(k+1)(k+2)Nhóm 1: CMR:n  N*cã 2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1)Với n = 1 ta có: u1 = 0 chia hÕt cho 3 (Mệnh đề (2) đúng)Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: uk= k3 – k chia hÕt cho 3Ta phải c/m (2) đúng với n = k+ 1, tức là :uk +1 =(k+1)3 – (k+1) chia hÕt cho 3Thật vậy:Vậy với mọi nN*, ta có: un = n3 – n chia hÕt cho 3 Nhóm 2: Uk +1 =(k+1)3 – (k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1 =(k3 – k) +3(k2 + k) =uk + 3(k2 + k) chia hÕt cho 3 CMR:n  N*cã un = n3 – n chia hÕt cho 3 (2)Nhóm 3: Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúngGiả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là :Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:Vậy:N¨m ®­îc phương pháp qui nạp toán họcChú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ pH­íng dÉn häc ë nhµCñng cè - DÆn dßHọc thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạpCác bài tập 1,2,3,4 tự luyện tậpBài 5: Đa giác lồi ít nhất mấy cạnh thì có đường chéo?Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌCQUÝ THẦY CÔ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE THÀNH ĐẠT.