Bài giảng Đại số 11: Các hệ thức lượng trong tam giác (tiếp theo)

Kiểm tra bài cũ Câu hỏi 1 : Em hãy phát biểu định lí cosin trong tam giác a2 = b2 + c2 - 2bc cosA b2 = a2 + c2 - 2ac cosB c2 = a2 + b2 - 2ab cosCCâu hỏi 2 : Em hãy phát biểu định lí sin trong tam giácTrả lời : Trong tam giác ABC , với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp , ta có :Trả lời : Với mọi tam giác ABC ta có :Đ4. Các hệ thức lượng trong tam giác Phần 4 Công thức độ dài đường trung tuyếnHhaACBcabMACBbcamaPhần 3 Các công thức về diện tích tam giác(Tiếp theo )3. Các công thức về diện tích tam giác( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ), r là BK đường tròn nội tiếp )( ha , hb , hc lần lượt là các đường cao kẻ từ các đỉnh A,B,C )(CT Hê rông)(1)(5)(4)(3)(2)Chứng minh : 2) HhabACBcaTa đã biếtACBacbDo đó ta có :Nếu C = 900 thì ha = b và sinC = 1nên ta vẫn có công thức trênmà ha = AC sinACH3) Thay vào công thứcta đượcnếu góc C tù thì ACH = 1800 - Cnếu góc C nhọn thì ACH = C sin ACH = sin C= b sinACHCHhaABcabCVí dụ 1 :Tính diện tích , bán kính đường tròn nội tiếp , ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh là a = 13 , b = 14 , c = 15Giải : Ta có :áp dụng công thức Hê rông Vì 4. Công thức độ dài đường trung tuyếnĐịnh lý : Trong mọi tam giác ABC , ta đều có :Trong đó ma , mb , mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt kẻ từ các đỉnh A , B , C của  ABCGọi AM là đường trung tuyếnvẽ từ A , AM = ma . Ta có :ACBbcaMmaCác đẳng thức khác chứng minh tương tựABAC+( )AM =AM2=AC2AB2+ABAC2+( )ma2 =( c2 + b2 +2bc cosA )ma2 =( c2 + b2 +b2 + c2 - a2 )Chứng minh :Ví dụ 2 : Cho hai điểm A , B cố định . Tìm quỹ tích những điểm M thoả mãn điều kiện : MA2 + MB2 = k2 ( k là một số cho trước ) Giải: OGiả sử có điểm M thoả mãn : MA2 + MB2 = k2 Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB , thì OM là đường trung tuyến trong  MAB nên :Ta xét các trường hợp :* Nếu 2k2 > AB2* Nếu 2k2 < AB2 thì quỹ tích là tập rỗng * Nếu 2k2 = AB2 = RKhi đó quĩ tích M là đường tròn tâm O , bán kính Rthì OM = 0 hay M trùng OABMthìb) Chứng minh rằng trong một hình bình hành tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéoGiải:AJIDCBa) áp dụng định lí đường trung tuyến vào  BAC và  DAC , ta có :BA2 + BC2 =DA2 + DC2 =Ví dụ 3 : Cho tứ giác ABCD ; I , J là trung điểm của AC và BDa)CM hệ thức : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2AC222DI2 +AC222BI2 +Cộng hai ĐT trên theo từng vế , ta có :AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = áp dụng định lí đường trung tuyến vào  IBD , ta có : BI2 + DI2 =2IJ2 +BD22Thay vào (*) , ta được :AB2 + BC2 + CD2 + DA2 =2( BI2 + DI2 ) +AC2 (*)AC2 + BD2 + 4IJ2b) Chứng minh rằng trong một hình bình hành tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéoVí dụ 3 : Cho tứ giác ABCD ; I , J là trung điểm của AC và BDa)CM hệ thức : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2Giải: b) Nếu ABCD là hình bình hành thì I và J trùng nhau nên IJ = 0 và ta có: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 Vậy :Trong một hình bình hành tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương hai đường chéoJIDCAB