Bài giảng Đại số 11 bài 8: Hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC1. Hàm số liên tục tại một điểm:2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn:3. Tính chất của hàm số liên tục:§ 8 Chứng minh rằng: a/ Hàm số gián đoạn tại điểm x = 1b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục trên đoạn [-1, 2].Chứng minh rằng: b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục trên [-1, 2]. Giải Hàm số f(x) = x4 - 2x2 + 2 xác định trên R.Với mọi x0  (-1, 2) ta có:  hàm f liên tục trên khoảng (-1, 2)Lại có: f(-1) = 1 = lim f(x) khi x  -1+ f(2) = 10 = lim f(x) khi x  2- Do đó hàm f liên tục trên đoạn [-1, 2]a/ Hàm sốgián đoạn tại điểm x = 1GiảiVới x = 1, f(1) = 2Với mọi x  1 ta có:Do đó:Vậy hàm f gián đoạn tại điểm x = 1y = x4 – 2x2 + 20xy-12101f(-1)f(2) Với mỗi M nằm giữa f(-1) và f(2), hãy tìm c  (-1, 2) sao cho f(c) = M trong các trường hợp sau:Trường hợp 1: M = 2Trường hợp 3: M = 5Nhận xét: Hàm f có liên tục trên đoạn [-1, 2] hay không?Hàm f có liên tục trên đoạn [-1, 2]Tính f(-1) = f(2) = ?Ta có: f(-1) = 1 f(2) = 10 f(-1)  f(2)2M =M = 2M = 5 Với mỗi M bất kì nằm giữa f(-1) và f(2) ta luôn tìm được ít nhất một giá trị c  (-1, 2) sao cho f(c) = MMabf(a)f(b)cy = f(x)HÀM SỐ LIÊN TỤC§ 83. Tính chất của hàm số liên tục:Định lí 2: (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)y0x Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. Nếu f(a)  f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = M.Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b)y = Mf(c) = M0xy-121Cho hàm số: y = x2 + 1Giải Hàm f liên tục trên đoạn [-2, 0]Lại có f(-2) = 5  1 = f(0)Theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm c (-2, 0) sao cho f(c) = M Tìm lỗi sai trong lời giải sau:HÀM SỐ LIÊN TỤC§ 83. Tính chất của hàm số liên tục:Hãy dự đoán phương trình x4 - x3 – 3 = 0 có ngiệm hay không??0xyabf(a)f(b)y = f(x)c 1. Hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b] hay không?2. Tích f(a).f(b) như thế nào? Khi đó c được gọi là gì của phương trình f(x) = 0?Nhận xét: 1.Hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b].2. Tích f(a).f(b) < 0 Theo định lí 2, tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c)=M, với mỗi M nằm giữa f(a) và f(b). Khi đó: c được gọi là nghiệm của phương trình f(x) = 0 Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = 0. Ý nghĩa hình học của hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b).f(c) = 0y = 0 Khi M = 0 ta có f(c) = 0, với c (a, b).M Áp dụng: Chứng minh phương trình có nghiệm trong một khoảng: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b). Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình ta thực hiện như sau:+ Tìm hàm f(x)+ Chọn [a, b] sao cho: hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0+ Kết luận.Ví dụ : Cho hàm số P(x) = x3 + x - 1. Chứng minh rằng phương trình P(x) = 0 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.Giải Ta có: + P(x) = x3 + x - 1 liên tục trên đoạn [0, 1].+ P(0) = -1+ P(1) = 1 P(0).P(1) = (-1).1 = -1 < 0 Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 1) sao cho P(c) = 0Do đó: x = c chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình P(x) = 0HÀM SỐ LIÊN TỤC§ 83. Tính chất của hàm số liên tục:Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. nếu f(a)  f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = M.Ý nghĩa hình học của định lí:Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b) Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a, b) sao cho f(c) = 0. Ý nghĩa hình học của hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c(a, b). + Tìm hàm f(x)? + Tìm đoạn [a, b] thỏa hàm f liên tục trên đoạn [a, b] và tích f(a).f(b) < 0? + Theo hệ quả ta có kết luận gì?Hãy dự đoán phương trình x4-x3–3=0 có ngiệm hay không?? Ta có: + f(x) = x4-x3-3 liên tục trên đoạn [-2, 0].+ f(-2).f(0) = 5.(-3) = -15 < 0 Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm c  (-2, 0) sao cho f(c) = 0 Vậy x = c là một nghiệm của phương trình f(x) = 0. Ta có +f(x) = x4-x3-3 liên tục trên đoạn [0, 2]+f(0).f(2) = -15 Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 2) sao cho f(c) = 0. Vậy x = c cũng là một nghiệm của phương trình f(x) = 0.Giải Ta có: hàm f liên tục trên [0, 2] Lại có: f(0).f(2) = (-1).2 = -2 < 0 Vì - 0.8  (-1, 2) nên theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm c (0, 2) sao cho f(c) = - 0.8 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 2) sao cho f(c) = - 0.8 Cho hàm số f(x) =