Bài giảng Đại số 11 §3: Hàm số liên tục

I. Hµm sè liªn tôc t¹i mét ®iÓm§3 Hàm số liên tục XÐt c¸c hµm sè :()ïîïíì=¹--=1x nÕu 1x nÕu21123xxxf-10112xy(d1)-10112xy(d2)3-10112y(d3)xĐối với hàm số y=f(x) khi xét tại một điểm x=x0, có thể xảy ra những khả năng sau: X0 TXĐ của hàm số.Đå thÞ cña hµm sè lµ ®­êng kh«ng liÒn nÐt cho dï cã tån t¹i hay kh«ng Khi ®ã ta nãi “ Hµm sè kh«ng liªn tôc ( hay gi¸n ®o¹n ) t¹i x=x0 ’’.2) x0 tx® cña hµm sè vµ Đå thÞ cña hµm sè vÉn lµ ®­êng kh«ng liÒn nÐt.Khi ®ã ta còng nãi “Hµm sè kh«ng liªn tôc (hay gi¸n ®o¹n) t¹i x=x0 “.3) x0 Є TXĐ của hàm số và . Đồng thời Đồ thị hàm số là đường liền nétKhi đó ta nói ‘’ H/S f(x) liên tục tại x=x0 “.n §Þnh nghÜa 1:Cho hµm sè f x¸c ®Þnh trªn kho¶ng K vµ x0 K. Hµm sè f ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 nÕu .Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0 ®­îc gäi lµ gi¸n ®o¹n t¹i ®iÓm x0 . Các bước kiểm tra một hàm số liên tục tại x0 (gồm 3 bước )1) f(x) xác định tại x=x0 (điểm đó thuộc tập TXĐ).2) (tồn tại giới hạn của hàm số tại điểm đó).3) (giới hạn tại x0 phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó).II. Hàm số liên tục trên một khoảngĐịnh nghĩa 2Hàm số y= f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.Hàm số y= f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục trên (a, b) và H/S y = f(x) được gọi là liên tục trên nửa khoảng (a, b] nếu nó liên tục trên (a, b) và H/S y = f(x) được gọi là liên tục trên [a, +∞) nếu nó liên tục trên (a, +∞) và Oxyabf(a)f(b)y=f(x)ĐỒ THỊ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN 1 KHOẢNG LÀ 1 ĐƯỜNG LIỀN NÉT TRÊN KHOẢNG ĐÓxyoabf(a)f(b)Đồ thị hàm số không liên tục trên khoảng (a, b)III. Một số định lý cơ bảnĐịnh lý 1.a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.b) Hàm số phân thức hữu tỷ ( thương của hai đa thức ) và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của TXĐ của chúng.Định lý 2.Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó.Các hàm số y= f(x) + g(x), y= f(x) – g(x) và y = f(x)g(x) liên tục tại x0.Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0. VD2: Cho hàm:XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè trªn tËp x¸c ®Þnh cña nãGi¶i:. NÕu Th× cã tËp x¸c định lµ (-∞; 2)U (2;+∞) .TËp x¸c ®Þnh: D = R.VËy nã liªn tôc trªn mçi kho¶ng (-∞; 2)vµ (2;+∞) . NÕu x =2 th× h(2) = 5 vµ V×Nªn hµm sè ®· cho kh«ng liªn tôc t¹i x = 2.KL: Hµm sè ®· cho liªn tôc trªn c¸c kho¶ng (-∞; 2) , (2;+∞) vµ gi¸n ®o¹n t¹i x = 2.Định lý 3.Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] và f(a)f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c (a,b) sao cho f(c) =0.Oxyabf(a)f(b)Trên[{a,b] hàm số f(x) liên tục và f(a) .f(b) <0 thì đồ thị hàm số sẽ cắt trục Ox tại ít nhất 1 điểm trong (a,b)y=f(x)CVD3: CMR phương trình x3 + x – 6 =0 có ít nhất một nghiệmGiải: Xét hàm số f(x) = x3 + x – 6 Ta có f(0) = -6 và f(2) = 4. Do đó, f(0)f(2)<0.y=f(x) là hàm liên tục trên R. Do đó, nó liên tục trên đoạn [0,2]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 (0, 2) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a,b] và f(a)f(b) < 0, thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b) KẾT THÚCf(x) liên tục tại x0f(x) liên tục trên (a;b)Lấy bất kỳ x0 Є(a,b)f(x) không liên tục trên(a,b)++-