7 hướng biến đổi cho một bài toán tính tích phân

Giảng viên: NGUYỂN CHIẾN THẮNGNgười thực hiện: PHAN HỒNG QUÂN NGUYỄN THỊ THANH NGA LÊ THỊ DIỆU NGUYỄN THỊ HIỀN PHÙNG THỊ THẮM TRẦN THỊ TRANG NGUYỄN VĂN DÂN Nhóm: 57 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN(Chuyên đề: Giải tích 12)7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂNI.Khái quát hóa:Khái quát hóa là gì?Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát.Khái quát hóa nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đạt được, nghiên cứu những điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ những mối quan hệ giữa chúng. Nhờ đó, người đọc đạt được không chỉ là những tri thức riêng lẻ mà là một hệ thống tri thức.( Theo Nguyễn Bá Kim-PPDH môn Toán)2. Khái quát hóa như thế nào? Giống như một người họa sỹ vẽ một bức tranh, một người nhạc sỹ sáng tác một bản nhạc, tất cả đều phải căn cứ từ bản chất riêng của từng đối tượng mà có những cái nhìn riêng về đối tượng. Chính điều đó sẽ dẫn tới sự thành công cho tác phẩm của mình.Vậy trong toán học chúng ta cần khái quát hóa một bài toán như thế nào?7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra những “điểm nhấn “ để có thể hiểu vấn đề một cách “ thông thái “ hơn. 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂNVậy để làm được điều đó, người học toán cần điều gì? - Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo về vấn đề được đặt ra.- Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức xung quanh vấn đề đó.- Tự đặt câu hỏi xung quanh một vấn đề nhỏ để tìm cách khái quát thích hợp. 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂNII. Khái quát hóa cho một bài toán cụ thể.Xin phân tích qua một bài toán nhỏ sau: Bài toán : Tính tích phân (Bài tập 19c)-Chương III, SGK Giải tích 12 Nâng cao) 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN1. Nhận xét 1: Quan sát thấy được hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức. Vậy kiến thức sẽ sử dụng cho hàm phân thức là gì? Chắc chắn chúng ta nghĩ đến nguyên hàm Vậy để sử dụng được công thức này chúng ta cần phải tìm mọi cách biến đổi về dạng đó !7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN2. Nhận xét 2: Ở đây chỉ xuất hiện 2 hàm số lượng giác là sinx và cosx . Vậy có cách nào biểu diễn thông qua một yếu tố không ? Ta cùng tìm kiếm kiến thức để giải quyết. 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN2.1. Hướng 1: Chia cả tử và mẫu cho cosx ta được Từ đó đặt t= tanx 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN2.2. Từ đó, với cách giải trên ta có thể giải được bài toán tổng quát sau: Gợi ý giải:- Chia cả tử và mẫu cho sinx ( hoặc cosx)Chia 2 trường hợp: n chẵn và n lẻSử dụng phương pháp tích phân từng phần7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN 2.3. Hướng 2: Đặt thì và Với hướng trên ta có thể tính được tích phân có dạng tổng quát sau: ( Theo Nguyễn Mộng Hy – PP Giải Tích phân,NXB GD,2006) Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé!7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN3. Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ của sinx và cosx . Điều gì đặc biệt trong cận của tích phân ? 3.1 Hướng 3: Đặt:Với( đây là cách đặt ẩn phụ mà không làm thay đổi cận của tích phân rất hay).7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂNKhi đó:Thật đáng kinh ngạc! 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN3.2. Với hướng trên ta có thể tính được tích phân tổng quát sau: Gợi ý giải: - Theo hướng 3.1, đặt khi đó ta cũng tính được 2I = .( Theo math.vn)7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN4. Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác thì như thế nào ? 4.1. Hướng 4: Biến đổi: và ta tính với các tích phân bình thường của hàm lượng giác.7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN4.2. Điều này cho ta suy nghĩ để tìm ra cách giải cho bài toán sau:Gợi ý giải: - Phân chia a theo các trường hợp , , , - Chia n theo 2 trường hợp: chẵn và lẻ - Sử dụng công thức truy hồi. ( Theo math.vn)7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN4.3. Hướng 5:Biến đổi: và ta tính được bình thường.Tiếc là theo hướng này ta không tìm được bài toán tổng quát cho nó!7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN5. Nhận xét 5: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên nếu ta biến đổi tử thức để tìm cách viết được qua mẫu số và đạo hàm của mẫu thì hay quá ! 5.1 Hướng 6: Biến đổi: 7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN5.2. Từ đó, ta có ngay bài toán đặc biệt hóa sau:Gợi ý giải: - Theo hướng 6 - Chia n theo 2 trường hợp: chẵn, lẻ.- Sử dụng tích phân từng phần.7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN6. Nhận xét 6: Quan sát tích phân cần tìm ta thấy sự sai khác của tử số và mẫu số, vậy nếu ta tìm được một tích phân khác có “họ hàng” với nó thì sao nhỉ ? Trả lời câu hỏi đó ta đi xét tích phân: 6.1. Hướng 7: Xét tính phân sau:Từ hai tích phân trên ta đi giải hệ : sẽ tìm được I Cách giải này có thể áp dụng để giải các bài toán có tính đối xứng của sin và cos.7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂNSƠ ĐỒ TỔNG QUÁT Đặt Chia cả tử và mẫu cho sinx( hoặc cosx)Biến đổi lượng giác Đặt Biến đổi lượng giác7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN ĐÂY LÀ BÀI GIẢNG CỦA MÌNH, RẤT MONG ĐƯỢC SỰ ĐÓNG GÓP Ý KIẾN CỦA THẦY CÔ VÀ CÁC BẠNXIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!