Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT – Năm học 2011 - 2012 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT   – NĂM HỌC 2011 - 2012 f ( x) = 2cos + 6 sin x  trêm đoạn [0;p ]. ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN:  TOÁN Thời gian làm bài 180 phút – không kể thời gian giao đề Bài 1: (4 điểm) a)   Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: x 2 b)  Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có: sin A + sin B +   6 sin C £  5 10 4 ï8( x   + y ) + 4xy + = 13 ( x + y ) ï b) Tính tổng: S  = 2Cn n n nn + 2  .2C + 2 .3C   + ... + 2  .n nC Bài 2: (4 điểm) Cho đường tròn (O, R) và hai điểm P, Q cố định. P nằm ngoài (O), còn Q là điểm nằm trong (O). Dây cung di động AB của (O) luôn qua Q. PA, PB lần lượt giao lần thứ hai với (O) tại C và D. Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua 1 điểm cố định. Bài 3: (4 điểm) Giải hệ phương trình ì 2 2 5 2 ï í 1 2x + = 1 î ï x + y Bài 4: (4 điểm) a)   Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số gồm có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số đã cho, trong đó hai chữ số 0 và 1 không đứng cạnh nhau? 1 2 2 3 3 Bài 5: (4 điểm) Giải phương trình: p  sin   2011x  = cos2011x ----------------- Hết-------------------- Họ và tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2011 – 2012 Bài 1: (4 điểm) a)   Đặt sin x 2  1+ 6t = t ® t Î[0;1] ta có hàm số  f (t ) = 2  1- t 2 (           ) ç ÷÷ = è ø æ 6 ö 5 10 Khảo sát hàm số trên đoạn [0;1] ta được min f ( x) = f (p ) = 0; max f ( x) = f ç arcsin 4 4 b) Ta có sin A + sin B +   6 sin C = 2cos  C   A - B              C cos          +   6 sin C £ 2cos 2          2                                2  +   6 sin C £ 10 ç cos2 2 2 ÷ = 10 ç -cos + ÷ £ æ C     C ö æ + sin è 2 2 ø è  1 C             C    3 ö +   cos 2    2       2    2 ø  5 10 4  . Đẳng thức khi A = B, Bài 2: (4 điểm) Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua I = PQ Ç CD điểm cố định. Bài 3: (4 điểm) ï5( x + y )   + 3( x - y )   + x + y 2  = 13 ï î Hệ phương trình viết thành í ï x + y ì                    2                         2         5 ï                                    (        ) 1 x + y + x - y +          = 1  ìa = x + y Đặt í îb = x - y  và đặt î 1 ì5u2 + 3b2 = 23 a + = u,  ® u ³ 2 Ta được hệ í a u + b = 1  Ta tìm được u = 2 ® b = -1 ® a = 1. 1+ ( x + 1) Từ đó hệ có nghiệm duy nhất ( x, y ) = (0,1) Bài 4: (4 điểm) 5 4 a)   Số có dạng ab01cd  với giao hoán các chữ số theo giả thiết là 2P - P  số. Vậy số các chữ số phải tìm là (P6 - P5 ) - (2P5 - P4 ) số. n b)  Xét khai triển éë ûù  và đạo hàm hai vế của nó, ta có được Cn nn , từ đó có  S  = 2n.3n-1 2 + ... + n.(1 + x)   C n (2 + x ) n-1  (1 + x) = (1+ x )Cn1 + 2 (1+ x ) 2 n Bài 5: (4 điểm) Từ p  sin   2011x  ³ 1,  cos2011x £ 1 và k Î Z; p Ï Q ta được nghiệm duy nhất x = 0 . ----------------- Hết--------------------  PTDT NT.