Chuyên đề : Khảo sát hàm số và ứng dụng

Chuyên đề : Khảo sát hàm số và ứng dụng Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số . I. C¸c bµi to¸n vÒ tiÕp tuyÕn vµ tiÕp xóc. 1. KiÕn thøc c¬ b¶n. 1.1. Tiếp tuyến tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. 1.2. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết dạng của tiếp tuyến với đồ thị. B1: Tìm dạng của tiếp tuyến y = g(x) . B2: Điều kiện tiếp xúc : Chú ý : + đường thẳng (d) qua M (xo, yo) (kh«ng // 0y): (d): y = k(x – xo) + yo. + (d) // (D) : y = ax + b : Þ (d) : y = ax + m. + (d) ^ (D) : y = ax + b (a ¹ 0) : Þ (d) : y = x + m + (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : . Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm. 1.3.Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M Î (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) Î (C/) Û g(xo,yo) = 0; (d) qua M: y = k(x – xo) + yo (d) tx (C) : (1). Thế k vào (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để pt có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 2. C¸c vÝ dô. Vd 1: Cho hµm sè: y = 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. 2)ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè, biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(-2; 0). Vd 2: Gäi (Cm) lµ ®å thÞ hµm sè: y = (*) (m lµ tham sè) 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (*) khi m = 2 2. Gäi M lµ ®iÓm thuéc (Cm) cã hoµnh ®é b»ng -1. T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn cña (Cm) t¹i ®iÓm M song song víi ®­êng th¼ng 5x - y = 0 Vd 3: Cho hµm sè: y = (1) (m lµ tham sè) a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè (1) víi m = 1/2 b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C), biÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng d: y = 4x + 2. Vd 4: Cho hµm sè: y = 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè ®· cho. 2. T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc (C), biÕt tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t hai trôc Ox, Oy t¹i A, B vµ tam gi¸c OAB cã diÖn tÝch b»ng Vd 5: Cho hµm sè: y = (1) cã ®å thÞ (C) 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1). 2) ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn D cña (C) t¹i t©m ®èi xøng vµ chøng minh r»ng D lµ tiÕp tuyÕn cña (C) cã hÖ sè gãc nhá nhÊt. Hd: Chøng minh tiÕp tuyÕn t¹i 1 ®iÓm (x0)bÊt k× lu«n cã f'(x0) > f'(®iÓm uèn). Vd 6: Cho hµm sè: y = 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. 2) T×m nh÷ng ®iÓm trªn trôc tung mµ tõ mçi ®iÓm Êy chØ kÎ ®­îc ®óng mét tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ hµm sè (ë phÇn 1). Vd 7: Cho hµm sè: y = -x4 + 2(m + 1)x2 - 2m - 1 1) X¸c ®Þnh tham sè m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i bèn ®iÓm lËp thµnh mét cÊp sè céng. 2) Gäi (C) lµ ®å thÞ khi m = 0. T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm thuéc trôc tung sao cho tõ ®ã cã thÓ kÎ ®­îc ba tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C). Vd 8: Cho hµm sè: y = 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. 2) T×m trªn ®­êng th¼ng x = 1 nh÷ng ®iÓm M sao cho tõ M kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi nhau. Vd 9: Cho hµm sè: y = (1) 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (C) cña hµm sè (1). 2) Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn cña (C). T×m ®iÓm M thuéc (C) sao cho tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng IM. II. C¸c bµi to¸n vÒ biÖn luËn sè nghiÖm. 1. KiÕn thøc c¬ b¶n. Vd1: Cho hµm sè: y = (x - 1)(x2 + mx + m) (1) (m lµ tham sè) 1) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt. 2) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = 4. Vd 2: 1) K/s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (C) cña hµm sè: y = 2x3 - 3x2 - 1 2) Gäi dk lµ ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(0 ; -1) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k. T×m k ®Ó ®­êng th¼ng dk c¾t (C) t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt. Vd 3: Cho hµm sè: y = x3 - (2m + 1)x2 - 9x (1) 1) Víi m = 1; a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè (1). b) Cho ®iÓm A(-2; -2), t×m to¹ ®é ®iÓm B ®èi xøng víi ®iÓm A qua t©m ®èi xøng cña ®å thÞ (C). 2) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè (1) c¾t trôc hoµnh t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt cã c¸c hoµnh ®é lËp thµnh mét cÊp sè céng. Chó ý: Bài toán đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng . B1:Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) với trục hoành là ax4 + bx2 + c = 0 (1). Đặt t = x2 (điều kiện :t > 0) .Khi đó phương trình (1) trở thành : at2 + bt + c = 0 (2). Điều kiện để (C ) cắt trục hoành tại 4 điểm thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt B2:Giả sử (2) có hai nghiệm là 0 < n < m.thì phương trình (1) có 4 nghiệm là : . Để 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng thì m = 9n (3) . B3:Ap dụng định lí viet : (4) . Kết hợp (3) và (4) để tìm m và n .Từ đó suy ra cấp số cộng : . Vd 4: Cho hµm sè: y = x3 + 3x2 + 1 (1) 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1). 2) §­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-3 ; 1) cã hÖ gãc lµ k. X¸c ®Þnh k ®Ó (d) c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt. Vd 5: Cho ®­êng cong (Cm): y = x3 + mx2 - 2(m + 1)x + m + 3 vµ ®­êng th¼ng (Dm): y = mx - m + 2 m lµ tham sè. 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C-1) cña hµm sè víi m = -1. 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña m, ®­êng th¼ng (Dm) c¾t (Cm) t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt? Vd 6: Cho hµm sè: y = -x3 + 3x2 - 2 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. 2) T×m t ®Ó ph­¬ng tr×nh: cã 6 nghiÖm ph©n biÖt. Chó ý: đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối . 1) Hàm số y = f(|x|) . Phương pháp : B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) . B2: Giữ nguyên phần x ≥ 0 , lấy đối xứng phần x > 0 qua Oy 2) Hàm số y = |f(x)| . Phương pháp : B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) . B2: Giữ nguyên phần y ≥ 0 , lấy đối xứng phần y <0 qua Ox3) Hàm số y = |f(|x|)| . Phương pháp : B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) . B2: Giữ nguyên phần x ≥ 0 , lấy đối xứng phần x >0 qua Oy B3: Giữ nguyên phần y ≥ 0 , lấy đối xứng phần y < 0qua Ox Vd 7: 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè: y = (x + 1)2(x - 2). 2) Cho ®­êng th¼ng D ®i qua ®iÓm M(2; 0) vµ cã hÖ sè gãc lµ k. H·y x¸c ®Þnh tÊt c¶ gi¸ trÞ cña k ®Ó ®­êng th¼ng D c¾t ®å thÞ cña hµm sè sau t¹i bèn ®iÓm ph©n biÖt: y = . Vd 8: Cho hµm sè: y = f(x) = x3 + ax + 2, (a lµ tham sè) 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi a = -3. 2) T×m tÊt c¶ gi¸ trÞ cña a ®Ó ®å thÞ hµm sè y = f(x) c¾t trôc hoµnh t¹i mét vµ chØ mét ®iÓm. Vd 9: Cho hµm sè: y = x3 - 6x2 + 9x 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. 2) a) Tõ ®å thÞ hµm sè ®· cho h·y suy ra ®å thÞ cña hµm sè: y = b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: Vd 10: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè: y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã 6 nghiÖm ph©n biÖt: Vd 11: Cho hµm sè y = x3 - 3x + 2 Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè ®· cho. Gäi d lµ ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(3; 2) vµ cã hÖ sè gãc lµ m. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng d c¾t ®å thÞ (C) t¹i ba ®iÓm ph©n biÖt. Vd 12 : Cho hµm sè: y = (1) cã ®å thÞ (C) 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1). 2) Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng d: y = 2x + m lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm A, B thuéc hai nh¸nh kh¸c nhau. X¸c ®Þnh m ®Ó ®o¹n AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt. Vd 13. Cho hàm số y = x3 + mx2 - m a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt III. tÝnh ®¬n ®iÖu vµ cùc trÞ cña hµm sè. 1. KiÕn thøc c¬ b¶n. 1.1. TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè. + NÕu y' > 0/(a; b) th× hµm sè ®ång biÕn trªn (a; b). §å thÞ lµ mét ®­êng liÒn ®i lªn tõ tr¸i sang ph¶i. + NÕu y' < 0 /(a; b) th× hµm sè nghÞch biÕn trªn (a; b). §å thÞ lµ mét ®­êng liÒn ®i xuèng tõ tr¸i sang ph¶i. 1.2. Cùc trÞ. 1.2.1. DÊu hiÖu 1. Chó ý: f có đúng n cực trị Û f/ đổi dấu n lần. 1.2.2. DÊu hiÖu 2. Ÿ f đạt cực đại tại xo Û ; Ÿ f đạt cực tiểu tại xo Û Chó ý: +) Hàm bậc 3 có cực trị Û phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt *Tính yCĐ.yCT : Ta cã:y = y/ (Ax + B) + (Cx + D); => yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. * §­êng th¼ng ®i qua ®iÓm C§ vµ CT cã ph­¬ng tr×nh y = Cx + D 2/ Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị Û ab ³ 0, 3 cực trị Û ab < 0 2. VÝ dô. Vd1. Cho hµm sè: y = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1 (1) 1) X¸c ®Þnh m sao cho hµm sè (1) ®ång biÕn trªn tËp x¸c ®Þnh. 2) X¸c ®Þnh m sao cho hµm sè (1) cã mét cùc ®¹i vµ mét cùc tiÓu. TÝnh to¹ ®é cña ®iÓm cùc tiÓu. Vd 2: Cho hµm sè: y = (1) (m lµ tham sè) X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè (1) ®ång biÕn trong kho¶ng: 0 < x < 3 Vd 3: Cho hµm sè: y = (1) 1) X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè (1) nghÞch biÕn trong kho¶ng (1; +) 2) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (1) khi m = 1, gäi ®å thÞ cña hµm sè nµy lµ (C). 3) T×m hai ®iÓm A, B thuéc (C) sao cho A vµ B ®èi xøng víi nhau qua ®­êng th¼ng (d): x + 3y - 4 = 0. Vd 4: 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = 2) T×m trªn ®å thÞ cña hµm sè ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn ®­êng tiÖm cËn ®øng b»ng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®­êng tiÖm cËn ngang. Vd 5: Cho hµm sè: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m. Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè ®· cho nghÞch biÕn trªn (-1; 1). Vd 6: Cho hµm sè: y = x3 + 3x2 + mx + m. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña hµm sè ®Ó hµm sè nghÞch biÕn trªn mét ®o¹n cã ®é dµi b»ng1. Vd 7: Cho hµm sè: y = x3 + 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m3 - 3m Chøng minh r»ng víi mäi m hµm sè ®· cho lu«n lu«n cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu; ®ång thêi chøng minh r»ng khi m thay ®æi c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ cùc tiÓu cña ®å thÞ hµm sè lu«n lu«n ch¹y trªn hai ®­êng th¼ng cè ®Þnh. Vd 8: Cho hµm sè: y = -x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè trªn khi m = 1. 2) T×m k ®Ó ph­¬ng tr×nh: -x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. 3) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè trªn. Vd 9: Cho hµm sè: y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1) T×m m ®Ó hµm sè (1) cã ba ®iÓm cùc trÞ. Vd 10: Cho hµm sè: y = -x3 + 3x2 + 3(m2 -1)x - 3m2 - 1 (1) m lµ tham sè T×m m ®Ó hµm sè (1) cã cùc ®¹i, cùc tiÓu vµ c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1) c¸ch ®Òu gèc to¹ ®ä O. Vd 11: Cho hµm sè: y = (x - m)3 - 3x (m lµ tham sè) X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè ®· cho ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 0. Vd 12: Cho hàm số y = f(x) = mx3 + 3mx2 - (m - 1)x - 1 Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị Vd 13: Cho y = f(x) = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m (m + 1)x + 1(1) a) Tìm quĩ tích điểm cực đại b) Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm CĐ & CT của đồ thị. Giải. a) y’ = 6[x2 - (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ = 0 Û Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng y’(x)0 Û xÎ(-¥, m) È (m + 1, +¥) Vậy hàm luôn có cực đại và cực tiểu tại x = m và x = m + 1. Điểm cực đại là (m, f(m)). Khử m bằng cách thay m = x, vào (1) ta được y = 2x3 + 3x2 + 1. Vậy đồ thị của hàm y = 2x3 + 3x2 + 1 là quĩ tích các điểm cực đại của hàm số khi m thay đổi. b) Trung điểm của đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu điểm uốn là . Từ suy ra , thay vào phương trình y = f(x) ta thu được Vậy quĩ tích đồ thị hàm