Chuyên đề Giúp học sinh nâng cao khả năng dự đoán quỹ tích

“Giúp học sinh nâng cao khả năng dự đoán quỹ tích.”Trường THCS Yên Thường*****Năm học 2008 - 2009Chuyên đềCách giải bài toán quỹ tíchLớp 7Lớp 8Lớp 9Ví dụ khácCách giải bài toán quỹ tíchBước 1: Dự đoán quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó.Bước 2: Chứng minh: ta phải chứng minh hai phần:Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình HPhần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H.Ví dụ 1:Tính chất tia phân giác của một góc (lớp 7):“Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.”Minh họa:Bài 43 (SBT Toán 7 tập 2_trang 29):“Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD?”Minh họa:Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng:“Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.”Minh họa:Bài 60 (SBT Toán 7 tập 2_trang 30):“Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác cân có đáy là AB.”Minh họa:Ví dụ 2: Bài 68 (SGK Toán 8 tập 1_trang 102):“Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và có khoảng cách đến d bằng 2cm. Lấy điểm B bất kì thuộc đường thẳng d. Gọi C là điểm đối xứng với điểm A qua điểm B. Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường nào?”Ví dụ 1: Bài 70 (SGK Toán 8 tập 1_trang 102):“Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy sao cho OA = 2cm. Lấy B là một điểm bất kì thuộc tia Ox. Gọi C là trung điểm của AB. Khi điểm B di chuyển trên tia Ox thì điểm C di chuyển trên đường nào?”Ví dụ 2: Bài 71 (SGK Toán 8 tập 1_trang 103):“Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là trung điểm của DE.Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng.Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì điểm O di chuyển trên đường nào?Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất ?”Minh họa:Ví dụ 3:Bài 129 (SBT Toán 8 tập 1_trang 74):“Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào?”Ví dụ 4:Bài 164 (SBT Toán 8 tập 1_trang 77):“Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD.Tính khoảng cách từ I đến AB?Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?”Ví dụ 5:Bài 44 (SGK Toán 9 tập 2_trang 86):Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.Điểm A thay đổi, nhưng nó chỉ di động trên đường nào? Vì sao?Ví dụ 1:Bài 45 (SGK Toán 9 tập 2_trang 86):“Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đương chéo trong các hình thoi đó.”Ví dụ 2:Bài 48 (SGK Toán 9 tập 2_trang 87):“Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.”Ví dụ 3:Bài 50 (SGK Toán 9 tập 2_trang 87):“Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.a) Chứng minh góc AIB có số đo không đổi ?b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên ?Ví dụ 4:Bài 98 (SGK Toán 9 tập 2_trang 105):“Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.”Ví dụ 5:Bài 37 (SBT Toán 9 tập 2_trang 79):“Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn đó. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho?”Ví dụ 6:“Cho đường tròn (O,R) và hai điểm A, B cố định trên đường tròn đó. Gọi M là một điểm bất kì di động trên đường tròn, M’ là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABMM’. Tìm quỹ tích điểm M’ ?”Ví dụ 1:“Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn đó, vẽ hình vuông AMNP.Tìm quỹ tích các điểm N khi M di động ?”Ví dụ 2:“Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O,R). Qua A kẻ tiếp tuyến Ax, trên Ax lấy một điểm B bất kì. Từ B kẻ tiếp tuyến BC với đường tròn (C là tiếp điểm). Tìm quỹ tích các trực tâm H của tam giác ABC ?”Ví dụ 3:“Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90o) nội tiếp đường tròn (O). Một điểm M tùy ý trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Chứng minh rằng:a) Góc AMD bằng góc ABC.b) Tam giác BMD cân.c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy một cung tròn cố định và độ lớn của góc BDC không đổi.”Ví dụ 4: