Bài giảng qua mạng Hình học 10 - Chương I: Vecto - Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu - Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc - Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG I. VECTO §2 Tổng và hiệu của hai vecto Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 §2 tæng vµ hiÖu cña hai vect¬ Víi hai sè thùc a vµ b chóng ta ®· ®Þnh nghÜa ®­îc phÐp a ± b. Do vËy, vÊn ®Ò ®Æt ra lµ cÇn x©y dùng ®­îc phÐp céng, trõ cho hai vect¬ vµ cïng víi viÖc x¸c ®Þnh c¸c tÝnh chÊt kÌm theo. bµi gi¶ng theo ch­¬ng tr×nh chuÈn Tæng cña hai vect¬ §Þnh nghÜa: Tæng cña hai vect¬ vµ lµ mét vÐct¬ ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau: Tõ mét ®iÓm tïy ý A trªn mÆt ph¼ng dùng vect¬ = . Tõ ®iÓm B dùng vect¬ = . Khi ®ã vÐct¬ gäi lµ vect¬ tæng cña hai vect¬ vµ , ta viÕt = + . C A B Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta ®­îc quy t¾c ba ®iÓm: = + , víi ba ®iÓm A, B, C bÊt k×. Ho¹t ®éng: 1. H·y ph¸t biÓu b»ng lêi quy t¾c ba ®iÓm. 2. Më réng quy t¾c ba ®iÓm cho n ®iÓm. 3. Cho tø gi¸c ABCD. H·y x¸c ®Þnh c¸c vect¬ tæng sau: + , + , + . 4. NÕu cã + = th× cã thÓ suy ra ½½ + ½½ = ½½ ®­îc kh«ng ? 5. Gi¶i thÝch t¹i sao ta cã ½½ + ½½ ≥ ½ + ½ TÝnh chÊt cña phÐp céng vÐct¬ Víi mäi vect¬ , vµ , ta cã: (TÝnh chÊt giao ho¸n): + = + . (TÝnh chÊt kÕt hîp): ( + ) + = + ( + ). (TÝnh chÊt cña vect¬ kh«ng): + = + = . Ho¹t ®éng: 1. Sö dông ®Þnh nghÜa h·y chøng minh tÝnh chÊt 1). 2. Sö dông bèn ®iÓm A, B, C, D cho t­¬ng øng c¸c vect¬ h·y chøng minh tÝnh chÊt 2). Cho bèn ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng: + + = . ? Gi¶i Ta cã thÓ tr×nh bµy theo ba c¸ch sau: C¸ch 1: Sö dông quy t¾c ba ®iÓm, ta cã: VT = ( + ) + = + = , ®pcm. C¸ch 2: Sö dông quy t¾c ba ®iÓm, ta cã: VT = + ( + ) = + = , ®pcm. C¸ch 3: Sö dông quy t¾c ba ®iÓm, ta cã: = + = + + , ®pcm. C¸ch 4: Sö dông quy t¾c ba ®iÓm, ta cã: = + = + + , ®pcm. F NhËn xÐt: ViÖc tr×nh bµy thÝ dô trªn theo bèn c¸ch chØ mang tÝnh chÊt minh ho¹ cho nh÷ng ý t­ëng sau: Víi c¸ch 1 vµ c¸ch 2, chóng ta gom hai vect¬ cã "®iÓm cuèi cña vect¬ thø nhÊt trïng víi ®iÓm ®Çu cña vect¬ thø hai" tõ ®ã sö dông chiÒu thuËn cña quy t¾c ba ®iÓm. Víi c¸ch 3 vµ c¸ch 4, chóng ta sö dông chiÒu ng­îc l¹i cña quy t¾c ba ®iÓm, cô thÓ "víi mét vect¬ bÊt k× chóng ta ®Òu cã thÓ xen thªm vµo gi÷a mét ®iÓm tuú ý ®Ó tõ ®ã ph©n tÝch ®­îc vect¬ thµnh tæng cña hai vect¬". Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Chøng minh r»ng + = . ? Gi¶i D A B C V× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh, suy ra: Û = , do ®ã: + = + = . Tõ thÝ dô trªn ta ®­îc quy t¾c h×nh b×nh hµnh: + = , víi ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Ho¹t ®éng: 1. Dùa vµo h×nh b×nh hµnh ABCD: H·y x¸c ®Þnh c¸c vect¬ tæng + , + . Vect¬ cã thÓ lµ tæng cña nh÷ng cÆp vect¬ nµo ? 2. H·y nªu ph­¬ng ph¸p x¸c ®Þnh vect¬ tæng cña hai vect¬ cïng gèc. Cho DABC ®Òu c¹nh b»ng a. TÝnh ®é dµi vect¬ tæng + . ? Gi¶i A C M B A1 Gäi M lµ trung ®iÓm BC, lÊy ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua M, ta cã ngay ABA1C lµ h×nh b×nh hµnh, suy ra: + = Þ ½ + ½ = ½½ = 2AM = 2. = . F Chó ý: Víi c¸c em häc sinh ch­a n¾m v÷ng kiÕn thøc vÒ tæng cña hai vect¬ th× th­êng kÕt luËn ngay r»ng: ½ + ½ = ½½ + ½½ = a + a = 2a. Ho¹t ®éng: Cho DABC vu«ng t¹i A, biÕt BC = a. TÝnh ®é dµi vect¬ tæng + . Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. Chøng minh r»ng: + = . ? Gi¶i Ta cã: M A B Û = , do ®ã: + = + = = . Tõ thÝ dô trªn ta ®­îc kÕt qu¶: NÕu M lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AB th× + = . Ho¹t ®éng: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD t©m O. Chøng minh r»ng: . Gäi G lµ träng t©m DABC. Chøng minh r»ng: + + = . A C A1 B G M ? Gi¶i Träng t©m G thuéc trung tuyÕn AM, ta dùng h×nh b×nh hµnh BGCA1 b»ng viÖc lÊy ®iÓm A1 ®èi xøng víi G qua M, ta cã: + = , Û = , + + = + = + = = , ®pcm. Tõ thÝ dô trªn ta ®­îc kÕt qu¶: Gäi G lµ träng t©m DABC th× + + = . Vect¬ ®èi cña mét vect¬ §Þnh nghÜa: NÕu tæng cña hai vect¬ vµ lµ vect¬ kh«ng, th× ta nãi lµ vect¬ ®èi cña , hoÆc lµ vect¬ ®èi cña . Víi vect¬ cho tr­íc, ta cã nhËn xÐt: + = = Þ lµ vect¬ ®èi cña . Ho¹t ®éng: H·y nªu nhËn xÐt vÒ vect¬ ®èi cña vect¬ . Mäi vect¬ ®Òu cã vect¬ ®èi ? KÝ hiÖu: Vect¬ ®èi cña vect¬ kÝ hiÖu lµ -. Suy ra = -. F NhËn xÐt: Ta cã + (-) = (-) + = . Hai vect¬ gäi lµ ®èi nhau nÕu chóng ng­îc h­íng vµ cïng ®é dµi. Vect¬ ®èi cña vect¬ lµ vect¬ . Ta ®· biÕt r»ng "NÕu M lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AB th× + = ", tõ ®ã suy ra lµ vect¬ ®èi cña vµ ng­îc l¹i. Ho¹t ®éng: Cho ®iÓm O vµ vect¬ . H·y dùng vect¬ sao cho + = . Cho h×nh lôc gi¸c ®Òu ABCDEF cã t©m O. H·y chØ ra c¸c vect¬ cïng ph­¬ng, cïng h­íng, ng­îc h­íng, b»ng nhau, ®èi nhau. HiÖu cña hai vect¬ §Þnh nghÜa: HiÖu cña hai vÐct¬ vµ , kÝ hiÖu - , lµ tæng cña vect¬ vµ vect¬ ®èi cña vect¬ , nghÜa lµ: - = + (-). PhÐp lÊy hiÖu cña hai vect¬ gäi lµ phÐp trõ vect¬. C A B §Ó dùng vect¬ - khi biÕt c¸c vect¬ vµ ta lÊy ®iÓm A tuú ý, tõ ®ã dùng vect¬ = vµ = , khi ®ã = - . Tõ c¸ch dùng trªn ta ®­îc quy t¾c hiÖu hai vect¬ cïng gèc: - = , víi ba ®iÓm A, B, C bÊt k×. Ho¹t ®éng: H·y chøng minh quy t¾c trªn. TÝnh chÊt cña phÐp trõ vÐct¬ - = Û = + . Cho 4 ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng: + = + . Gi¶i Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Ta cã: VT = ( + ) + ( + ) = + + ( + ) = + = VP, ®pcm. C¸ch 2: BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ®¼ng thøc vÒ d¹ng: - = - Û = , lu«n ®óng. C¸ch 3: BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ®¼ng thøc vÒ d¹ng: - = - Û + = + Û = , lu«n ®óng. F NhËn xÐt: Trong bµi häc tr­íc chóng ta ®· cã 6 c¸ch ®Ó chøng minh ®¼ng thøc trªn vµ ë ®©y chóng ta ghi nhËn thªm ®­îc nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c, cô thÓ: Trong c¸ch 1, ta sö dông quy t¾c ba ®iÓm vµ tæng cña hai vect¬ ®èi nhau. Trong c¸ch 2, ta sö dông quy t¾c hiÖu cña hai vect¬ cïng gèc. Trong c¸ch 3, ta sö dông phÐp ®æi dÊu b»ng viÖc ®¶o chiÒu vect¬. C¸c em häc sinh h·y nªu thªm mét c¸ch gi¶i kh¸c dùa trªn kÕt qu¶: + + + = . bµi tËp lÇn 1 Cho ®o¹n th¼ng AB vµ ®iÓm M n»m gi÷a A vµ B sao cho AM > MB. VÏ c¸c vect¬ + vµ - . Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ mét ®iÓm M tuú ý. Chøng minh r»ng: + = + Chøng minh r»ng ®èi víi tø gi¸c ABCD bÊt k× ta lu«n cã: + + + = . - = - . Cho DABC. Bªn ngoµi cña tam gi¸c vÏ c¸c h×nh b×nh hµnh ABIJ, BCPQ, CARS. Chøng minh r»ng . Cho DABC ®Òu, c¹nh b»ng a. TÝnh ®é dµi cña c¸c vect¬ + vµ - . Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã t©m O. Chøng minh r»ng: . . . . Cho , lµ hai vect¬ kh¸c . Khi nµo cã ®¼ng thøc: ½ + ½ = ½½ + ½½. ½ + ½ = ½ - ½. Cho ½ + ½ = 0. So s¸nh ®é dµi, ph­¬ng, h­íng cña hai vect¬ vµ . Chøng minh r»ng = khi vµ chØ khi trung ®iÓm cña hai ®o¹n th¼ng AD vµ BC trïng nhau. Cho ba lùc = , = , = cïng t¸c ®éng vµo mét vËt t¹i ®iÓm M vµ vËt ®øng yªn. Cho biÕt c­êng ®é cña vµ ®Òu lµ 100N vµ AMB = 600. T×m c­êng ®é vµ h­íng cña lùc . Cho DABC ®Òu cã c¹nh b»ng a. TÝnh ®é dµi vect¬ tæng + . Cho DABC ®Òu néi tiÕp ®­êng trßn t©m O. Chøng minh r»ng: . H·y x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: = ; = ; = . Cho 6 ®iÓm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng: + + = + + . Cho DABC. H·y x¸c ®Þnh ®iÓm M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: - + = G Chó ý: C¸c bµi tËp nµy sÏ ®­îc tr×nh bµy trong phÇn “Bµi gi¶ng n©ng cao”. bµi gi¶ng n©ng cao A. Tãm t¾t lÝ thuyÕt Tæng cña hai vect¬ §Þnh nghÜa: Tæng cña hai vect¬ vµ lµ mét vÐct¬ ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau: Tõ mét ®iÓm tïy ý A trªn mÆt ph¼ng dùng vect¬ = . Tõ ®iÓm B dùng vect¬ = . Khi ®ã vÐct¬ gäi lµ vect¬ tæng cña hai vect¬ vµ , ta viÕt C A B = + . Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta ®­îc quy t¾c ba ®iÓm: + = , víi ba ®iÓm A, B, C bÊt k×. TÝnh chÊt cña phÐp céng vÐct¬ Víi mäi vÐct¬ , vµ , ta cã: (TÝnh chÊt giao ho¸n): + = + . (TÝnh chÊt kÕt hîp): ( + ) + = + ( + ). (TÝnh chÊt cña vect¬ kh«ng): + = + = . Ta cã quy t¾c h×nh b×nh hµnh: + = , víi ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Ta cã: NÕu M lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AB th× + = . Ta cã: Gäi G lµ träng t©m DABC th× + + = . hiÖu cña hai vect¬ §Þnh nghÜa: HiÖu cña hai vÐct¬ vµ , kÝ hiÖu - , lµ tæng cña vect¬ vµ vect¬ ®èi cña vect¬ , nghÜa lµ: - = + (-). PhÐp lÊy hiÖu cña hai vect¬ gäi lµ phÐp trõ vect¬. §Ó dùng vect¬ - khi biÕt c¸c vect¬ vµ ta lÊy ®iÓm A tuú ý, tõ ®ã dùng vect¬ = vµ = , khi ®ã = - . C A B Tõ c¸ch dùng trªn ta ®­îc quy t¾c hiÖu hai vect¬ cïng gèc: - = , víi ba ®iÓm A, B, C bÊt k×. TÝnh chÊt cña phÐp trõ vÐct¬ - = Û = + . B. ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n Cho ®o¹n th¼ng AB vµ ®iÓm M n»m gi÷a A vµ B sao cho AM > MB. VÏ c¸c vect¬ + vµ - . ? Gi¶i VÏ vect¬ = + : Trªn ®o¹n th¼ng MA lÊy ®iÓm C sao cho = Do ®ã: M A C B = + . Theo quy t¾c ba ®iÓm, ta cã: = . VËy, + = VÏ vect¬ = - : Ta cã: = + (-) = + (v× lµ vect¬ ®èi cña ) = + (tÝnh chÊt giao ho¸n) = (Quy t¾c ba ®iÓm) VËy, - = . Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ mét ®iÓm M tuú ý. Chøng minh r»ng: + = + ? Gi¶i Gäi O lµ t©m cña ABCD th× O lµ trung ®iÓm cña AC vµ BD. D A B C M' M O Gäi M' lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua O th×: AMCM' lµ h×nh b×nh hµnh, suy ra: + = . (1) BMDM' lµ h×nh b×nh hµnh, suy ra: + = . (2) VËy, tõ (1) vµ (2) ta ®­îc + = + . Chøng minh r»ng ®èi víi tø gi¸c ABCD bÊt k× ta lu«n cã: + + + = . - = - . ? Gi¶i - B¹n ®äc tù vÏ h×nh Ta cã: + + + = ( + ) + ( + ) = + = . Ta cã: - = , (1) - = . (2) VËy, tõ (1) vµ (2) ta ®­îc - = - . Cho DABC. Bªn ngoµi cña tam gi¸c vÏ c¸c h×nh b×nh hµnh ABIJ, BCPQ, CARS. Chøng minh r»ng . ? Gi¶i - B¹n ®äc tù vÏ h×nh V× ABIJ lµ h×nh b×nh hµnh nªn Mµ Þ . MÆt kh¸c: (CARS lµ h×nh b×nh hµnh) Þ (1) L¹i cã: (theo quy t¾c ba ®iÓm) (2) = (3) Céng (1), (2), (3) theo vÕ, ta ®­îc: = + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) = + + = . Cho DABC ®Òu, c¹nh b»ng a. TÝnh ®é dµi cña c¸c vect¬ + vµ - . ? Gi¶i - B¹n ®äc tù vÏ h×nh Ta cã: + = (quy t¾c ba ®iÓm) Suy ra, ½ + ½ = ½½ = AC. Mµ AC = a (theo gi¶ thiÕt). VËy, ®é dµi vect¬ + = a. Gäi C1 lµ ®iÓm ®èi xøng cña C qua B, ta cã: = - Suy ra: - = + = Þ ½ - ½ = ½½ = AC1 XÐt DABC1 cã trung tuyÕn AB b»ng nöa c¹nh t­¬ng øng CC1 nªn vu«ng t¹i A. Do ®ã: AC1 = . VËy, ®é dµi vect¬ - = a. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã t©m O. Chøng minh r»ng: . . . . ? Gi¶i - B¹n ®äc tù vÏ h×nh V× O lµ trung ®iÓm cña BD nªn: - . Suy ra: = . V× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nªn = . VËy, ta ®­îc - ®pcm. Ta cã: (ABCD lµ h×nh b×nh hµnh) Suy ra: - = + = . VËy, ta ®­îc - ®pcm. Ta cã: = (quy t¾c ba ®iÓm) Mµ = - . Suy ra, ta cã - ®pcm. Ta cã: = . Mµ: = - Þ = - Û - ®pcm Cho , lµ hai vect¬ kh¸c . Khi nµo cã ®¼ng thøc: ½ + ½ = ½½ + ½½. ½ + ½ = ½ - ½. ? Gi¶i §Æt = vµ = . Gi¶ sö, vµ cïng h­íng th× A, B, C th¼ng hµng theo thø tù ®ã. Ta cã: Þ Tõ (1) vµ (2) Þ ½ + ½ = ½½ + ½½. VËy, cã ®¼ng thøc ½ + ½ = ½½ + ½½ khi vµ chØ khi vµ cïng h­íng. §Æt = vµ = C¸ch 1: gi¶ sö DABC vu«ng t¹i B, ta cã: + = + = . - = - = + (-) . (1) Gäi C1 lµ ®iÓm ®èi xøng cña C qua B, ta cã: (1) Û - = + = . Do ®ã: ½ + ½ = AC. ½ - ½ = AC1, Mµ AC = AC1 (do DABC c©n t¹i A) VËy, cã ®¼ng thøc ½ + ½ = ½ - ½ khi vu«ng gãc víi . C¸ch 2: Gi¶ sö BD lµ ®­êng chÐo cña h×nh b×nh hµnh vÏ trªn hai vÐct¬ vµ . Ta cã: + = Þ ½ + ½ = AC. (1) Mµ, = vµ = - nªn: - = + = Þ ½ - ½ = DB. (2) Theo ®Ò bµi, ta cã: ½ + ½ = ½ - ½ Þ AC = BD Û ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt Þ ^ . VËy, cã ®¼ng thøc ½ + ½ = ½ - ½ khi ^ . Cho ½ + ½ = 0. So s¸nh ®é dµi, ph­¬ng, h­íng cña hai vect¬ vµ . ? Gi¶i V× ½ + ½ = 0 Þ + = Þ = -. VËy, vµ cã: ½½ = ½½. Cïng ph­¬ng. Ng­îc h­íng. Chøng minh r»ng = khi vµ chØ khi trung ®iÓm cña hai ®o¹n th¼ng AD vµ BC trïng nhau. ? Gi¶i Ta cã: NÕu = th× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Do ®ã, AD vµ BC cã trung ®iÓm trïng nhau. NÕu AD vµ BC cã trung ®iÓm trïng nhau th× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Do ®ã: = Cho ba lùc = , = , = cïng t¸c ®éng vµo mét vËt t¹i ®iÓm M vµ vËt ®øng yªn. Cho biÕt c­êng ®é cña vµ ®Òu lµ 100N vµ AMB = 600. T×m c­êng ®é vµ h­íng cña lùc . ? Gi¶i - B¹n ®äc tù vÏ h×nh DABC cã MA = MB = 100N vµ AMB = 600 nªn DABC ®Òu §­êng cao MH = Û MH = 50(N). V× lµ lùc tæng hîp cña vµ nªn = víi = + . Suy ra, cã c­êng ®é b»ng MC vµ cã h­íng lµ tia ph©n gi¸c trong cña gãc AMB. V× AMBC lµ h×nh thoi nªn MC = 2MH. Do ®ã, MC = 100(N). VËy, cã c­êng ®é b»ng 100(N) vµ cã h­íng lµ tia ph©n gi¸c trong c¶u gãc AMB. Cho DABC ®Òu cã c¹nh b»ng a. TÝnh ®é dµi vect¬ tæng + . ? Gi¶i A C M B A1 Gäi M lµ trung ®iÓm BC, lÊy ®iÓm A1 ®èi xøng víi A qua M, ta cã ngay ABA1C lµ h×nh b×nh hµnh, suy ra: + = Þ ½ + ½ = ½½ = 2AM = 2. = . Chó ý: Víi c¸c em häc sinh ch­a n¾m v÷ng kiÕn thøc vÒ tæng cña hai vect¬ th× th­êng kÕt luËn ngay r»ng: ½ + ½ = ½½ + ½½ = a + a = 2a. Cho DABC ®Òu néi tiÕp ®­êng trßn t©m O. Chøng minh r»ng: . H·y x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: = ; = ; = . ? Gi¶i V× DABC ®Òu nªn O chÝnh lµ träng t©m DABC, do ®ã ta cã ngay: B C M O A C1 . Gäi A1, B1, C1 theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, AC, AB. Dùng h×nh b×nh hµnh AOBM b»ng viÖc lÊy ®iÓm M ®èi xøng víi O qua C1, ta cã ®­îc = . C¸c ®iÓm N, P ®­îc x¸c ®Þnh t­¬ng tù. Cho 6 ®iÓm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng: + + = + + . ? Gi¶i BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ®¼ng thøc vÒ d¹ng: ( - ) + ( - ) + ( - ) = Û + + = Û + = Û = , ®óng. Cho DABC. H·y x¸c ®Þnh ®iÓm M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: - + = . (*) ? Gi¶i B C A M BiÕn ®æi (*) vÒ d¹ng: + = Û = Û ABCM lµ h×nh b×nh hµnh. Tõ ®ã, ®Ó x¸c ®Þnh ®iÓm M ta thùc hiÖn: KÎ Ax // BC. KÎ Cy // AB. Giao cña Ax vµ Cy chÝnh lµ ®iÓm M cÇn t×m. bµi tËp lÇn 2 Vect¬ ®èi cña vect¬ - lµ vect¬ nµo ? Cho 4 ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng: + = + . Cho 4 ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng: + = + . + + = . Cho 6 ®iÓm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng: + + = + + . Cho DABC. Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB. Chøng minh r»ng: + + = . Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, O lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo. Chøng minh r»ng: + + + = . + = + . Cho DABC vu«ng t¹i A, biÕt AB = a vµ AC = b. TÝnh ®é dµi vect¬ tæng + . Cho DABC ®Òu néi tiÕp ®­êng trßn t©m O. Chøng minh r»ng . H·y x¸c ®Þnh c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: = ; = ; = . Cho hai vect¬ tuú ý vµ . C¸c hÖ thøc sau ®óng hay sai ? ½ + ½ = ½½ + ½½. ½ + ½ £ ½½ + ½½. Cho 6 ®iÓm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng: + + = + + . Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Chøng minh r»ng: - + = . Cho 6 ®iÓm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng: + + = + + . Cho DABC. H·y x¸c ®Þnh ®iÓm M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: - + = . Cho hai ®iÓm A vµ B ph©n biÖt. T×m tËp hîp ®iÓm M sao cho: + = . - = . - = . - = . Đóng góp có trách nhiệm khi sử dụng hiệu quả bài giảng này: Học sinh: 10.000đ. Học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: 20.000đ. Giáo viên: 30.000đ. Tích tổng số tiền trên 100.000đ bạn gửi về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ