Bài giảng lớp 10 môn Đại số - Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức (cơ bản) có thể sử dụng bất đẳng thức côsi cách sử dụng bất đẳng thức côsi

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN) CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI  Nhắc lại: * BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm : (1) - Cách viết tương đương: . (2) Dấu  xẩy ra khi và chỉ khi . * Chú ý: Với hai số thực tùy ý , ta có: -  (Vì . * Một số kết quả thường dùng: . Thật vậy, vì  nên . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được: . . Thật vậy, vì  nên . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được: . ———————————— MỘT SỐ BÀI TẬP Bài 1: Bài toán thuận. Chứng minh rằng với mọi  ta có: . Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ? Hướng dẫn: Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng  nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của . Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:  (*) Vì  nên . Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương , ta có: Hay . (**) Kết hợp với (*), suy ra: . Vậy  (đpcm) Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra   (do ) . ——- Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1. Chứng minh rằng  Hướng dẫn: Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là . (3) Quay lại bài tập này, với mọi  thì . Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có: . (đpcm) Dấu “=” xảy ra . —————— BÀI TẬP TỰ GIẢI. Chứng minh rằng: 1. . 2.  3. Với mọi góc , ta có: . 4. . 5. . —————