Bài giảng Hình học 11 tiết 36 bài 4: Khoảng cách

TRÖÔØNG THPT BAÙN COÂNG ÑÒNH QUAÙN Baøi 4 ( tieát 36 ) KHOAÛNG CAÙCHKHOAÛNG CAÙCHQ5. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau Định lí. Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một đường thẳng  cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy. Đường thẳng  đó gọi là đuờng vuông góc chung của a và b. Chứng minh : NMa’aR  Gọi (Q) là mp qua b và song song a  Gọi a’ là hình chiếu của a lên (Q) Vì a // (Q)  a’ // a  a’  b = N  Gọi  là đi qua N và  với (Q)    (R)=(a,a’)    a = M  Giả sử ’ cắt a, b và  với a, b ’  (Q)    (Q) Trái với gt a chéo b. vậy có một đuờng thẳng  duy nhất   // ’  a, b cùng thuộc một mp(,’) bNbPQ6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Định nghĩa. Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, đường vuông góc chung của chúng cắt a và b lần lượt tại M và N  Đoạn MN gọi là đoạn vuông góc chung của a và b  Độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và bbaTính chất kí hiệu d(a;b) = MN 1) d(a;b) = d(a;(Q)) = d(b;(P)) Gọi (P) và (Q) là 2 mp song song lần lượt chứa a và b Ta có: 2) d(a;b) = d((P);(Q)) 3) d(a;b)  AB với A  a và B  b NMAB7. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC, có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. H là trung điểm BC. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của cặp đường thẳng : a) OA và BC b) AH và OC Giải OCBAa) OA  OB (gt) OA  OC (gt)  OA  (OBC) OA  OH (1) H là trung điểm BCOBC cân tại O (gt)  OH  BC (2) Từ (1) và (2)  OH là đoạn vuông góc chung của OA và BCOBC vuông cân tại O Hb) Hãy XĐ và tính độ dài đoạn  chung của cặp đường thẳng : AH và OC KCBAOHLEF Gọi K là trung điểm OB  Gọi OL là đường cao OAK (1)  Qua L kẻ đường thẳng song song OC cắt AH tại E Qua E kẻ đường thẳng song song LO cắt OC tại F HK // OC OC  (OAB) HK  OL (2)Từ (1) và (2)  OL  (AHK)  OL  AH Vì EF // OL  EF  AH (3)OC  (OAB)  OC  OLVì EF // LO  EF  OC (4) Từ (3) và (4)  EF là đường vuông góc chung của AH và OC  HK  (OAB) Ta có OL.AK = OK.OA Vì OLEF là hình chữ nhật  EF Trong  OAK vuông KCBAOHLEFLKOATa có Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a) SC và BD b) AC và SD Giải: DCBASOHBD  AC (gt) BD  SA (gt) BD  (SAC)Trong mp(SAC) kẻ OH  SC (1) OH  (SAC) BD  OH (2) Từ (1) và (2) OH là đường vuông góc chung Vậy d(SC,BD) = OH a) Gọi O = AC  BD HCASOTa có  SAC vuông tại A  Do ABCD là hình vuông cạnh a  Mặt khác OHC vuông tại H Vậy d(SC,BD) = OH = ADCBaDCBASOb) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD tN Kẻ Dt // AC  AC // (S,Dt)  d(AC,SD) = d(AC;(S,Dt)) (1)M Kẻ AM  Dt  Dt  SA  Dt  (SAM)  Trong mp(SAM) kẻ AN  SMVì AN  (SAM)  AN  Dt AN  (S,Dt)  d(A;(S,Dt)) = AN (2)từ (1) và (2)  d(AC,SD) = AN Ta có AM = OD = Vậy d(AC,SD) = AN = Và